Equazioni di Navier-Stokes

Nell’ambito delle EDP, tra gli esempi più studiati ci sono senza dubbio le celebri equazioni di Navier-Stokes, che governano la dinamica e l’evoluzione di un fluido come l'aria (vengono infatti utilizzate da molti modelli meteorologici). Esse derivano dalla scrittura di alcuni basilari principi di conservazione.

Nel caso più generale si tratta di 3 EDP, che esprimono:

• la conservazione della massa;
• la conservazione della quantità di moto;
• la conservazione dell’energia.

Questo equazioni sono anche dette equazioni di bilancio.

Si presenta di seguito l’espressione semplificata relativa a un generico fluido incomprimibile, ossia con densità costante; di conseguenza la densità non è più un’incognita (come invece sarebbe in generale) e rimangono due equazioni, una per la conservazione della massa e una per la conservazione della quantità di moto. L’assunzione di fluido incomprimibile non è a rigore del tutto realistica, ma offre comunque una visione piuttosto esauriente e verificata in molti fenomeni.

Sia dato un vettore velocità in 3 componenti:

E i seguenti operatori vettoriali:

Divergenza e Laplaciano sono numeri puri (quantità scalari), essendo somme di derivate parziali rispetto alle 3 direzioni dello spazio; invece il gradiente è una quantità vettoriale, essendo i,j,k i versori (vettori unitari) che individuano rispettivamente le direzioni x,y,z.

Il sistema di EDP, le equazioni di Navier-Stokes, è il seguente:

E nel caso di densità ρ costante (caso incomprimibile):

in cui p è la pressione, f una generica forza di campo (tipico esempio, gravitazionale), e ν la viscosità cinematica del fluido (rapporto tra viscosità dinamica μ e densità):

• La prima equazione, di conservazione della massa (detta anche eq. di continuità), esprime semplicemente il fatto che all’interno di uno spazio delimitato (volume di controllo) sia sempre verificata la conservazione della massa: nel caso di densità costante, si ottiene la condizione di divergenza della velocità nulla.
• La seconda equazione, della quantità di moto, evidenzia un termine di trasporto (inerziale, o convettivo) e un termine diffusivo, rispettivamente:

Nei casi con turbolenza media o alta, i più frequenti nella vita reale, il termine convettivo prevale nettamente su quello diffusivo (un fatto espresso tra l’altro da un particolare parametro adimensionale chiamato Numero di Reynolds); tale termine convettivo è causa del comportamento non lineare delle equazioni, poiché l’incognita va a moltiplicare le sue derivate.