Nell’ambito delle EDP, tra gli esempi più studiati ci sono senza dubbio le celebri equazioni di Navier-Stokes, che governano la dinamica e l’evoluzione di un fluido come l'aria (vengono infatti utilizzate da molti modelli meteorologici). Esse derivano dalla scrittura di alcuni basilari principi di conservazione.
Nel caso più generale si tratta di 3 EDP, che esprimono:
Questo equazioni sono anche dette equazioni di bilancio.
Si presenta di seguito l’espressione semplificata relativa a un generico fluido incomprimibile, ossia con densità costante; di conseguenza la densità non è più un’incognita (come invece sarebbe in generale) e rimangono due equazioni, una per la conservazione della massa e una per la conservazione della quantità di moto. L’assunzione di fluido incomprimibile non è a rigore del tutto realistica, ma offre comunque una visione piuttosto esauriente e verificata in molti fenomeni.
Sia dato un vettore velocità in 3 componenti:
E i seguenti operatori vettoriali:
[ Divergenza della velocità ]
[ Gradiente ]
[ Operatore di Laplace (o Laplaciano) ]
Divergenza e Laplaciano sono numeri puri (quantità scalari), essendo somme di derivate parziali rispetto alle 3 direzioni dello spazio; invece il gradiente è una quantità vettoriale, essendo i,j,k i versori (vettori unitari) che individuano rispettivamente le direzioni x,y,z.
Il sistema di EDP, le equazioni di Navier-Stokes, è il seguente:
E nel caso di densità ρ costante (caso incomprimibile):
(equazione di conservazione della massa o di continuità)
(equazione di conservazione della quantità di moto)
in cui p è la pressione, f una generica forza di campo (tipico esempio, gravitazionale), e ν la viscosità cinematica del fluido (rapporto tra viscosità dinamica μ e densità):
Nei casi con turbolenza media o alta, i più frequenti nella vita reale, il termine convettivo prevale nettamente su quello diffusivo (un fatto espresso tra l’altro da un particolare parametro adimensionale chiamato Numero di Reynolds); tale termine convettivo è causa del comportamento non lineare delle equazioni, poiché l’incognita va a moltiplicare le sue derivate.