Eq. differenziali alle derivate parziali

Le equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) sono parte fondante del calcolo differenziale e trovano larga applicazione in molte discipline fisiche e ingegneristiche.

Un’equazione differenziale alle derivate parziali è un’equazione che vede come incognita una funzione di più variabili e le sue derivate rispetto a queste variabili (a differenza in una equazione differenziale ordinaria, nella quale è coinvolta una sola variabile indipendente). Un’eventuale grandezza fisica, rappresentata dalla funzione data, viene perciò descritta attraverso la sua variazione rispetto alle diverse variabili che ne influenzano il comportamento.

Le variabili indipendenti possono essere spaziali e temporali. Denominandole x = x₁,... ,x_d e t, si avranno d+1 variabili. Detta u la funzione incognita, la seguente espressione rappresenta una generica equazione alle derivate parziali:

in cui compare la dipendenza funzionale dalle variabili x e t, dalla funzione u e dalle sue derivate; si indica con g l’insieme dei dati dai quali dipende la EDP, e gli indici p₁, …p_d, p_t sono numeri interi positivi.

L’ordine di una EDP è quello assunto dalla derivata di ordine massimo, ossia il massimo valore di p₁+…+p_d+p_t.

L’equazione sopra scritta si dice LINEARE se dipende linearmente dalla funzione incognita u e dalle sue derivate. Se infatti α e β sono due qualsiasi numeri reali, si ha:

Si possono distinguere le situazioni di non-linearità dicendo che:

• L’equazione è QUASI-LINEARE se le derivate di ordine massimo compaiono solo linearmente;
• L’equazione è SEMI-LINEARE se è quasi-lineare e i coefficienti delle derivate di ordine massimo dipendono solamente dalle variabili x e t, e non dalla soluzione u;
• Infine, l’equazione è totalmente NON-LINEARE quando dipende non linearmente dalle derivate di ordine massimo.

Una funzione u=u(x₁,…,x_d,t) è soluzione della EDP se verifica l’identità enunciata prima, nel momento in cui viene sostituita al suo interno assieme alle sue derivate. In questo caso si parla anche di integrale particolare. L’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione si chiama invece integrale generale.

Per essere risolta, una EDP richiede di specificare delle condizioni iniziali e delle condizioni al contorno (in corrispondenza della frontiera del dominio di esistenza, spesso chiamato Ω) sul valore della funzione u e/o delle sue derivate, in relazione al problema che viene affrontato. Soprattutto, le condizioni al contorno (o al bordo) rivestono particolare importanza e la loro imposizione può non essere agevole.

Da queste considerazioni già emerge un fatto, vale a dire come non esista un metodo risolutivo di validità generale; l’attenzione si concentra sulle equazioni di problemi fisici di maggiore interesse. Queste difficoltà si aggravano nei casi di non-linearità, e rappresentano tuttora uno degli argomenti centrali in molti modelli di fenomeni fisici, i quali sono molto spesso non lineari.

Per alcuni casi specifici e fortunati (geometrie semplici, situazioni stazionarie o altro) l’espressione delle EDP presenta effettivamente una soluzione analitica; si tratta tuttavia di casi molto particolari, e in generale per la gran parte dei problemi di interesse non esiste soluzione analitica.

Inoltre l’integrale generale, che nelle equazioni differenziali ordinarie (derivate di una sola variabile) dipende da costanti arbitrarie, nelle EDP dipende invece da funzioni arbitrarie. Di conseguenza, nel caso si desideri trovare un integrale particolare, la formulazione delle condizioni al contorno può generare problemi matematici di grande difficoltà .

Informalmente, nel riferirsi a una EDP, si dice che è un problema è ben posto se:

• La soluzione esiste;
• È unica;
• Dipende con continuità dai dati.

La terza condizione è molto importante, in quanto assicura che a piccole variazioni dei dati di partenza facciano seguito altrettanto piccole variazioni nella soluzione.

Il fatto di disporre di un problema ben posto, come si può intuire, è assai utile, se non essenziale; il legame di continuità nella dipendenza dati-soluzione garantisce che in processo di calcolo numerico la soluzione non possa variare in modo arbitrariamente grande, finché si verifichino variazioni piccole nei dati: un’esigenza cruciale, se si ricorre all’uso di calcolatori per implementare simulazioni numeriche e ottenere soluzioni approssimate (il che avviene quasi sempre).