La stima di Gauss

Il valore Φ (lettera greca "phi") rappresenta il numero dei numeri primi presenti tra 1 e N. Ad esempio, nel grafico mostrato in seguito è rappresentato l’andamento l’andamento di Φ(N). Nel caso esposto si ha che Φ(100) = 25.

Come si nota dal grafico si ha una scalinata che rappresenta il numero cumulativo di numeri primi che si incontrano contando da 1 a 100. Su questo piccolo ordine di grandezza il risultato è una scalinata nervosa, in cui è difficile prevedere quanto si debba aspettare prima di incontrare il gradino successivo. In queste dimensioni si riescono a vedere ancora i dettagli dei numeri primi, le singole "note".

L’andamento del valore Φ non è regolare, infatti:

• Φ(10) = 4
• Φ(100) = 25
• Φ(1.000) = 168
• Φ(10.000) = 1229
• ...

Questa è un’altra conferma che è impossibile prevedere l’andamento dei numeri primi. L’importante passo che compì Gauss fu quello di porsi una domanda diversa. Invece di cercare di prevedere la posizione precisa di un numero primo rispetto a quello precedente, egli tentò di capire se fosse possibile prevedere quanti fossero i numeri primi minori di 100, di 1000 ecc. e di valutarne la distanza media. Armato delle sue tavole dei numeri primi,

Gauss cominciò la ricerca.

Osservando la frazione di numeri primi compresi in intervalli sempre più grandi, scoprì che cominciava ad emergere una struttura. A dispetto della casualità di quei numeri, sembrava che nella nebbia si profilasse una stupefacente regolarità. Se si osserva la seguente tabella che contiene i valori dei numeri primi compresi tra 1 e varie potenze di 10; la regolarità diventa evidente.

È chiaramente esposta la regolarità scoperta da Gauss. È nell'ultima colonna che tale regolarità si manifesta. Tale colonna riporta la frazione di numeri primi rispetto a tutti i numeri considerati:

• Per esempio, quando si conta fino a 100, un numero su quattro è primo, così che in questo intervallo dovremo aggiungere in media 4 per passare da un numero primo al successivo.
• Dei numeri minori di 10 milioni, 1 su 15 è primo (quindi, ad esempio, c’è una probabilità di circa il 6,67% che un numero telefonico di 7 cifre sia primo.
• Per N maggiori di 10.000, l’incremento dei valori di quest’ultima colonna è sempre pari circa a 2,3.

Perciò, ogni volta che Gauss moltiplicava N per 10, doveva aggiungere circa 2,3 al rapporto fra i numeri primi ed N. Gauss scoprì che per contare i numeri primi si possono usare i logaritmi naturali, cioè quelli in base e (un numero speciale uguale, fino alla dodicesima cifra decimale, a 2,718281828459... (come π, questo numero ha un’espansione decimale infinita e sempre diversa).

Per i numeri compresi fra 1 e N, ogni ln(N) numeri ce ne sarà grossomodo 1 che è primo. Perciò egli poteva stimare che i numeri primi compresi fra 1 e N fossero all’incirca:

Gauss non affermava che questo gli desse come per magia una formula esatta per calcolare quanti numeri primi fossero compresi fra 1 e N; solo che sembrava fornire un’ottima stima approssimata. Da un punto di vista euristico, il Teorema dei Fondamentale dell’Aritmetica ha consentito a Gauss di intuire che, per N abbastanza grande, esista un primo ogni ln(N) interi circa, ossia che esistano "tanti" numeri primi.

Una delle più grandi autorità parigine in campo di matematica, Adrien-Marie Legendre, introdusse una correzione "sperimentale" alla stima di Gauss al fine di perfezionarla in quanto si scoprì che tale stima, benché fornisse una buona approssimazione, si allontanava gradatamente dal dato reale man mano che il valore di N aumentava, come mostrato dal grafico seguente: