Frattali

La geometria frattale è una recente branca della matematica; parte dall”osservazione che alcune forme presenti in natura (coste, rami di un albero, fiocchi di neve, …) ben lontane dalle figure regolari della geometria euclidea. Prendiamo una felce come esempio: ogni sezione della foglia rappresenta comunque la totalità della sua interezza:

Si propone di usare enti geometrici non convenzionali per “leggere” e “descrivere” proprio le forme di irregolarità. Benoit Mandelbrot scrive:

“La geometria euclidea è incapace di descrivere la natura nella sua complessità,

in quanto si limita a descrivere tutto ciò che è regolare”

oppure ancora:

“mentre osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere,

le coste non sono dei cerchi, ma sono oggetti geometricamente molto complessi”.

Nascono i frattali, modelli atti ad imprigionare in formule matematiche quelle forme che fin'ora non erano state considerate riproducibili con regole matematiche. Un esempio di frattale è costituito dalla curva di Koch.

La geometria frattale (dal latino frangere cioè spezzare) è lo studio di forme ripetitive di base che ci consentono di trovare le regole per generare alcune strutture presenti in natura; un nuovo linguaggio di descrizione delle forme complesse della natura; ma, mentre gli elementi della geometria (linee, cerchi, triangoli, …) si possono visualizzare facilmente, quelli del nuovo linguaggio non si prestano all'osservazione diretta; essi sono algoritmi, processi che possono essere trasformati in forme e strutture solo con l”aiuto di un computer.

I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all”infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la definizione più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme F che abbia proprietà simili a quelle elencate:

1. Autosimilitudine: F è l'unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è l'unione di copie di se stesso a scale differenti. Ingrandendo un qualsiasi tratto di curva si visualizzerà ancora un insieme ricco di particolari e complesso come il precedente. Da tale proprietà scaturiscono due caratteristiche:

• Le curve frattali pur essendo continue non ammettono un'unica tangente in un punto; sono cioè curve ovunque continue e mai derivabili;
• Presi due punti della curva, anche se vicini tra loro, la loro distanza è sempre infinita; vuol dire che la lunghezza di un frattale “piano” non può essere misurata definitivamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale. In ogni caso, se si pensasse al frattale finale, la sua lunghezza risulta infinita.

2. Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.

3. Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. La funzione è ricorsiva: F = { Z|Z = f ( f ( f (...)))}. Applicata cioè rimettendo ogni volta in input, l'output del passo precedente:

x₁ = f (x₀) x₂ = f (x₁) . . . x_n = f (x_n−1)

4. Dimensioni frazionarie: caratteristica dalla quale deriva il loro nome, è che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare tutte le infinite iterazioni) in uno spazio a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera.

I frattali possono anche essere associati alla teoria del caos: la fiducia nella scienza, in pieno determinismo, aveva indotto a pensare che, conoscendo tutte le forze che agiscono su un corpo in un certo istante, si poteva prevedere la sua posizione negli istanti successivi. In realtà non tutto è determinabile, piccole incertezze come piccoli errori di misura che entrano nei calcoli, si propagano con effetti che pur essendo prevedibili a breve termine, sono imprevedibili a lungo andare. Questo fenomeno è noto come “Effetto farfalla”:

“Può un battito d'ali di una farfalla a Tokyo, provocare una tempesta a New York?”

Nei sistemi caratterizzati da dinamiche caotiche, ogni piccola incertezza nella condizione iniziale fa perdere ogni prevedibilità al passare di un tempo sufficientemente lungo. Nasce la teoria del “caos deterministico”: un apparente paradosso linguistico, il tentativo di imprigionare in formule il caos stesso e di trovare un modello matematico per ognuna delle situazione suddette e magari anche per ogni immagine particolarmente strana ma affascinante come, per l'appunto, i frattali.