chap8

Chapitre 8: Nombres

I) Les différentes sortes

Définition: N: Entiers {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6;...}

Z: Entiers relatifs {...-2; -1; 0; 1; 2; ...}

D: Décimaux {-1,25; 3,784; 2; -4; ...}

Q: Quotients aussi appelés rationnels {2/3; 2,5=5/2; 2; etc}

R: Réels {tous les nombres} c'est ici que l'on mettra Pi.

On a donc par définition:

II) La Division

Définition: Soit a et b deux entiers naturels. On dit que b est un diviseur de a si b/a est un entier

Exemple: Quels sont les diviseurs de 60?

60: 1x60

2x30

3x20 donc les diviseurs de 60 sont {1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60}

4x15

5x12

6x10

Remarque: Soit un nombre a. 1 et a sont forcément deux diviseurs de a. Un nombre entier naturel a donc toujours au moins deux diviseurs.

III) PGCD

Définition: Le Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres est le plus grand diviseur qu'ils ont en commun.

Exemple: Quel est le pgcd de 42 et 63?

liste des diviseurs 42: 1;2;3;6;7;14;21;42

63: 1;3;7;9;21;63

Le pgcd est donc 21 car c'est le plus grand nombre qui est dans les deux listes.

Méthode pour trouver le pgcd de deux nombres

L'algorithme d'Euclide:

Cherchons le pgcd de 357 et 187

357 = 187 x 1 + 170 Pour trouver le 1 on calcule 357/187 et on prend le nombre avant la virgule

Pour trouver 170, on calcule 357-187 x 1

On descend 187 et 170 et on recommence

187 = 170 x 1 + 17 Pour trouver le 1 on calcule 187/170 et on prend le nombre avant la virgule

Pour trouver 17, on calcule 187-170 x 1

On descend 170 et 170 et on recommence

170 = 17 x 10 + 0 Le pgcd est le dernier reste non nul (le nombre au dessus de 0); ici 17

pgcd(357;187)=17

Propriété: Pour simplifier une fraction et obtenir une fraction irréductible, il faut simplifier par le pgcd du numérateur et du dénominateur.

Exemple: Simplifions 42/63: on a pgcd(42;63)=21 (cf ci-dessus) donc il faut simplifier par 21

42/63=2/3

Nous avons donc maintenant une méthode pour affirmer qu'une fraction est irréductible.

Définition: Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur pgcd est égal à 1.

Une fraction est donc irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre-eux.

IV) PPCM

Cherchons le ppcm de 12 et 15

12 15

24 30

36 45

48 60

60 75

Le plus petit nombre qui apparaît dans les deux listes (le Plus Petit Commun Multiple) est 60.

Cela nous permet de faire des sommes de fractions en trouvant le plus petit dénominateur commun.