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Chapitre 8: Les droites remarquables du triangle

Rappel: On dit que trois droites (ou plus) sont concourantes lorsqu'elles n'ont qu'un seul point d'intersection.

I) Les hauteurs

Définition: Dans un triangle ABC, la hauteur issue de A est le segment perpendiculaire à [BC] passant par A.

Remarques: On peut donc tracer trois hauteurs dans un triangle.

Une hauteur n'est pas obligatoirement à l'intérieur du triangle

On appellera également hauteur la droite obtenue en prolongeant le segment "hauteur"

Propriété: Les 3 hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre.

II) Les médiatrices

Définition: La médiatrice d'un segment [AB] est la perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.

Méthode de construction au compas:

Remarques: On peut donc tracer trois médiatrices dans un triangle.

Définition: Le cercle circonscrit d'une figure est le cercle passant par tous les sommets de cette figure.

Propriété: Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit.

En mettant la pointe du compas sur M et en traçant le cercle passant par l'un des points du triangle, on obtient un cercle passant par tous les sommets du triangle.

III) Les médianes

Définition: La médiane issue de A est la droite passant par A et par le milieu de [BC]

Propriété: Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité.

A quoi sert-il?

Le centre de gravité est le point d'équilibre d'un objet.

Exemple: Pour les voitures, on abaisse le châssis pour descendre le centre de gravité et avoir ainsi plus de stabilité dans les virages.

En se baissant, il est plus difficile de nous faire tomber (rugby, lutte,équitation,....)

IV) Les bissectrices

Définition: La bissectrice d'un angle est la droite coupant cet angle en deux angles égaux.

Les trois droites en rouge sont les bissectrices de ce triangle.

Propriété: Les trois bissectrices sont concourantes en un point appelé le centre du cercle inscrit.

En mettant la pointe du compas sur le centre de gravité, on peut tracer un cercle tangent à l'un des côtés: ce cercle est alors tangent aux trois côtés du triangle.