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Chapitre 5: Triangle rectangle et cercle

I) Cercle circonscrit

Définition: Le cercle circonscrit d'un triangle est le cercle passant par ses sommets. Pour trouver le centre, on trace les médiatrices et on marque le point de concourance.

Théorème: Le centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.

Démonstration: admise

Conséquence: La médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse

Démonstration: En effet, cette médiane est un rayon du cercle circonscrit, comme le diamètre est l'hypoténuse, cette médiane mesure la moitié.

On sait que le triangle est rectangle donc on met les égalités de longueur.

II) Triangle rectangle

Théorème: Si un triangle inscrit dans un cercle admet un diamètre pour côté alors c'est un triangle rectangle.

Démonstration: admise

[AB] est un diamètre.

Peut importe où est le point C, s'il est sur le cercle alors ABC est rectangle en C.

Nous avons donc maintenant un moyen de tracer un triangle rectangle très rapidement sans équerre (et c'est plus précis qu'une construction à l'équerre)

Conséquence: Si dans un triangle ABC, une médiane est égale à la moitié du côté qu'elle intercepte, le triangle ABC est rectangle.

Démonstration: hypothèses: On sait que OA=OB=OC donc A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon OA. Comme O est le milieu de [AC], [AC] est un diamètre du cercle

Propriété: D'après le théorème précédent

Conclusion: Le triangle ABC est rectangle en B