chap13

Chapitre 13: Arbres de probabilités

I) Pour dénombrer

Considérons un cadenas dont le code à 3 lettres est formé à partir de A,B et C (exemple de code AAA)

Pour chercher toutes les combinaisons et être certain de n'en oublier aucune, il est plus simple de tracer un "arbre" où chaque nouvelle branche représente un choix.

En rouge le premier choix, en bleu le deuxième choix et en vert le troisième choix.

En procédant de cette manière, nous sommes certains de n'oublier aucune combinaison; il y en a ici 27.

II) Arbres pondérés

Un étudiant passe un concours qui se présente sous la forme d'un QCM. Chaque question est suivie de 5 réponses dont une seule est la bonne. Il a donc une chance sur 5 d'avoir juste en répondant au hasard et quatre chances sur 5 d'avoir faux.

Comme il n'a rien révisé et qu'il ne comprend rien, il s'en remet au hasard.

1/ Quelle est la probabilité qu'il ait 20/20 s'il y a deux questions dans le QCM?

2/Quelle est la probabilité qu'il ait 20/20 s'il y a trois questions dans le QCM?

3/Quelle est la probabilité qu'il ait 20/20 s'il y a 20 questions dans le QCM?

On notera V=vrai et F=faux

Construisons l'arbre pour la première question:

Sur chaque branche, on écrit la probabilité d'obtenir ce choix et pour trouver la probabilité d'un chemin on multiplie tous les nombres par lesquels on passe:

Ici, il a donc 1 chance sur 25 d'avoir juste s'il y a deux questions.

Construisons l'arbre pour trois questions:

La probabilité qu'il a d'avoir tout juste est d'une chance sur 125.

Pour répondre à la troisième question, on utilise le même principe mais on ne construit pas l'arbre (il est bien trop gros).

La probabilité est quasiment nulle.

III) Probabilités de plusieurs combinaisons

Pour obtenir la probabilité de plusieurs combinaisons, on additionne la probabilité de chaque combinaison.

Pour reprendre l'exemple précédent, quelle est la probabilité d'avoir au moins deux réponses fausses sur trois?

On a donc 116 chances sur 125 d'avoir deux mauvaises réponses sur trois.