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Chapitre 7: Triangles et parallèles
Thalès de Milet appelé communément Thalès, était un grand mathématicien grec du VI ème siècle avant JC
Il est célèbre pour son théorème (qu'il ne connaissait pas) et pour avoir mesuré la hauteur de la grande pyramide.
I) Le théorème
Théorème de Thalès: (démontré par Euclide)
Soit A,B,C et A,D,E alignés dans cet ordre.
Si (BD) // (CE) alors les côtés du petit triangle sont proportionnels aux côtés du grand triangle.
Ce théorème nous permet de calculer une longueur dans un triangle coupé par une droite parallèle à l'un des côtés.
Application
On sait que (EF)//(BC), AE=5,5cm, AC=12,6cm, AF=4cm et BC=21cm.
Calculez les longueurs EF et AB.
Hypothèse: (EF)//(BC)
les points A,E,C et A,F,B sont alignés dans cet ordre
propriété: D'après le théorème de Thalès
Conclusion: Les côtés du petit triangle AEF sont proportionnels aux côtés du grand triangle ABC.
On fait dès lors un tableau de proportionnalité.
Nous avons donc ce tableau de proportionnalité, on applique la règle de 3 pour trouver les valeurs manquantes
AB=4x12,6/5,5=9,16 cm
EF=21x5,5/12,6= 9,17cm
II) Une autre application
Théorème de Thalès:
Soit B,A,C et D,A,E alignés dans cet ordre.
Si (BD) // (CE) alors les côtés du petit triangle sont proportionnels aux côtés du grand triangle.
Application:
Hypothèse: (EA)//(BD)
les points A,C,B et E,C,D sont alignés dans cet ordre
propriété: D'après le théorème de Thalès
Conclusion: Les côtés du petit triangle AEC sont proportionnels aux côtés du grand triangle DBC.
On fait dès lors un tableau de proportionnalité.
On peut trouver CD facilement puisque CD=ED-EC=15-5=10
On applique donc la règle de 3:
BC=7x10/5=14
AE=2x51/10=10,2
III) La contraposée
Si vous arrivez à montrer que le tableau précédent n'est pas proportionnel, alors vous pourrez conclure que les droites ne peuvent pas être parallèles.
La contraposée de Thalès:
Soit A,B,C et A,D,E alignés dans cet ordre.
Si les côtés du petit triangle ne sont pas proportionnels aux côtés du grand triangle. alors (BD) n'est pas parallèle à (CE)
Application:
On donne AE=8cm, AC=40cm, AF=5,5cm, AB=27,4cm.
On fait le dessin sur ordinateur, les droites (EF) et (CB) ont l'air parallèle mais le sont-elles vraiment?
Hypothèse: les points A,E,C et A,F,B sont alignés dans cet ordre
AC/AE=40/8=5
AB/AF=27,4/5,5=4,981 Les deux résultats sont différents
propriété: D'après la contraposée de Thalès
Conclusion: les droites (FE) et (CB) ne sont pas parallèles
IV) La réciproque
Si vous arrivez à montrer que le tableau est proportionnel, alors vous pourrez conclure que les droites sont parallèles.
La réciproque de Thalès:
Soit A,B,C et A,D,E alignés dans cet ordre.
Si les côtés du petit triangle sont proportionnels aux côtés du grand triangle. alors (BD) // (CE)
Application:
On donne AE=8cm, AC=40cm, AF=5,5cm, AB=27,5cm.
On fait le dessin sur ordinateur, les droites (EF) et (CB) ont l'air parallèle mais le sont-elles vraiment?
Hypothèse: les points A,E,C et A,F,B sont alignés dans cet ordre
AC/AE=40/8=5
AB/AF=27,4/5,5=5 Les deux résultats sont identiques
propriété: D'après la réciproque de Thalès
Conclusion: les droites (FE) et (CB) sont parallèles
Remarque: Nous n'avons eu besoin que de 4 longueurs sur les six, deux calculs suffisent pour appliquer la contraposée ou la réciproque du théorème de Thalès.
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