chap15

Chapitre 15: Systèmes d'équations

I) Qu'est-ce que c'est?

Définition: Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations avec une ou plusieurs inconnues

Une solution du système est un nombre (ou un couple de nombre) qui est solution de chaque équation.

Exemple:

x et y sont les deux inconnues de ce système, c'est l'accolade qui indique que les deux équations doivent être résolues simultanément.

Le couple (1;3) est solution de ce système. En effet si x=1 et y=3 on a bien:

2x1+3=5

1-3=-2

II) Résolution par substitution

La méthode consiste à isoler une inconnue dans la première équation puis de la remplacer (i.e. la substituer) dans la deuxième équation pour obtenir une équation que l'on sait résoudre.

Exemple:

Maintenant, on résout la deuxième équation:

7x-5(9-2x)=-11 On développe

7x-45+10x=-11 On passe les nombres sans x à droite, les autres à gauche et on additionne

17x=34 On divise par le nombre devant le x

x=34/17

x=2

La moitié de la solution est trouvée, il ne manque que le y. On reprend la première équation où on remplace x par 2:

y=9-2x

y=9-2x2

y=9-4

y=5

Ici, il n'y a qu'une seule solution, le couple (2;5)

Les limites de cette méthode:

cette méthode fonctionne tout le temps mais les calculs deviennent vite compliqués si il n'y a pas une lettre seule au départ. Dans l'exemple, il n'y avait pas de nombre devant le y.

III) Résolution par combinaison

Cette méthode est plus rapide mais ne fonctionne bien que si on est capable d'avoir le même nombre devant les x (ou les y).

Pour cela, on se rappelle que l'on peut multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre.

Une fois que l'on a une inconnue, on choisit l'équation la plus simple et on remplace. Ici j'ai pris la première équation:

Ce système n'a qu'un couple solution : (11;-4)

IV) Cas particuliers

1er cas: Pas de solution

C'est impossible, il n'y a donc pas de solution.

2ème cas: Une infinité de solutions

Cette fois ci c'est vrai, il y a une infinité de solutions

On remarque que l'on a deux fois la même équation, qui est en fait l'équation d'une droite affine:

2x+3y=7

3y=7-2x

y=-2/3x+7/3

Les solutions du système sont donc tous les points de la droite d'équation y=-2/3x+7/3