chap10

Chapitre 10: Fonctions affines

I) Qu'est-ce que c'est?

Nous avons introduit en début d'année le concept de fonctions, les fonctions affines sont un type de fonction bien particulier (ce sont en fait les fonctions les plus simples)

Définition: Une fonction est une fonction affine si elle peut s'écrire sous la forme y=ax+b où a et b sont deux nombres quelconques. a sera appelé le coefficient directeur, b sera appelé l'ordonnée à l'origine.

Exemple:

Voici des fonctions affines le coefficient directeur est l'ordonnée à l'origine est

f: y=2x-3 2 -3

g: y=-7x+100 -7 100

h: y=x+2 1 2

i: y= 7 0 7

j: x²+2x-x²+71=2x+71 2 71

Voici des fonctions qui ne sont pas affines, en effet aucune de ces fonctions ne peut s'écrire sous la forme ax+b

k: y=x²

l: y=cos(x)

m: y= 1/x

n:y=x²-x+4

II) Courbes

Propriété: La courbe d'une fonction affine est une droite. Et inversement, si une fonction a pour représentation graphique une droite alors elle peut s'écrire sous la forme ax+b

Pour tracer la courbe d'une fonction affine il ne nous faudra donc que deux points puisque deux points suffisent à définir une droite.

Méthode 1:

On choisit une valeur de x (la plus simple possible pour s'éviter des calculs trop compliqués, par exemple 0;1ou 2), on calcule pour obtenir la valeur de y correspondant, cela nous donne les coordonnées d'un point.

On choisit une deuxième valeur de x, et on recalcule pour obtenir les coordonnées d'un deuxième point.

Il ne reste plus qu'à tracer la droite passant par ces deux points.

Traçons la courbe de la fonction h: y=(x-1)(2x+1)-2x²

Commençons par simplifier l'écriture de h en développant puis réduisant son expression

h(x)=2x²+x-2x-1-2x²

h(x)=-x-1

h est donc une fonction affine, son coefficient directeur est -1, son ordonnée à l'origine est -1. Sa courbe sera donc une droite, il me suffit de trouver deux points.

Je choisis x=0

donc h(0)=-0-1=-1 Je place le point A de coordonnée (x=0;y=-1)

Je choisis x=1

donc h(1)=-1-1=-2 Je place le point B de coordonnée (x=1;y=-2)

Finalement je n'ai plus qu'à tracer la droite passant par A et B.

Méthode 2:

On commence par placer l'ordonnée à l'origine sur l'axe vertical (l'axe des ordonnée) et à partir de ce point, on avance de 1 et on monte ou on descend du coefficient directeur. (on monte si le coefficient directeur est positif, on descend si le coefficient directeur est négatif)

Traçons la courbe de la fonction f: y=3x+2

Je commence donc par marquer le point 2 sur l'axe vertical.

A partir de ce point j'avance de 1 et je monte de 3. (attention, on avance de 1, pas de 1 carreau)

III) Applications

On considère une salle de musculation qui offre à ses visiteurs 3 tarifs

T1: 10€ la séance

T2: une carte d'abonnement de 100€ puis 5€ la séance

T3: une carte d'abonnement de 250€ et un accès illimité à la salle

Modélisation: On note n le nombre de séance que je prends en un an.

Avec le tarif 1 je paierai, T1(n) = 10n

Avec le tarif 2 je paierai, T2(n) = 5n+100

Avec le tarif 3 je paierai, T3(n) = 250

Ces trois fonctions sont des fonctions affines, je sais donc tracer leurs courbes dans un repère, ce qui me permettra de comparer les tarifs.

Le tarif 3 est en vert

Le tarif 2 est en bleu

Le tarif 1 est en rouge

On voit sur ce graphique que le moins cher est le tarif 1; du moins si je prends de 0 à 20 séances.

De 20 à 30 séances, il me vaut mieux prendre le tarif 2.

Pour plus de 30 séances, il me faudra prendre l'abonnement annuel.