Successió de Fibonacci

i nombre auri Φ

Observa els primers termes de la successió de Fibonacci, i investiga com es troba cadascun dels termes.

  • 1,1,2,3,5,8,…

Completa la successió de Fibonacci fins al 20è terme.

Amb aquests 20 termes, fes totes les divisions entre un terme i l’anterior. Què observes?

Aquest nombre és conegut com a nombre auri, nombre d’or o proporció divina.

Curiosament, el nombre d'or el podem trobar també en la natura, de vegades en llocs insospitats:

  • En cada rusc d'abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.
  • En la disposició dels pètals de les flors (anomenada llei de Ludwig en botànica).
  • En la relació entre els nervis del tall d'una fulla.
  • En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre d'or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és a causa del fet que el nombre d'or és el nombre irracional que triga més a convergir i, per tant, l'efecte que crea aquest angle és precisament el d'evitar que mai les fulles se superposin completament).
  • En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de gira-sol.
  • En l'espiral dels cargols "nautilus", que són espirals d'or, logarítmiques.
  • En les espirals d'una pinya.
  • En alguns quasicristalls com el de l'aliatge de zinc, magnesi i holmi, que formen un dodecaedre regular. No és el cas dels cristalls de pirita dodecaèdrics (piritoedres), en què les cares són pentàgons amb quatre costats iguals i un de diferent, i la figura resultant té la simetria del tetraedre, anomenada Th (3*2), i no pas pentagonal.

Algunes d'aquestes aparicions poden arribar-se a explicar mitjançant les successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. D'altres, però, són aparicions més misterioses.

El nombre auri, també és el quocient entre la diagonal d'un pentàgon regular i el seu costat. El seu valor és 1,618 033 988 749...