Successió de Fibonacci
i nombre auri Φ
Observa els primers termes de la successió de Fibonacci, i investiga com es troba cadascun dels termes.
1,1,2,3,5,8,…
Completa la successió de Fibonacci fins al 20è terme.
Amb aquests 20 termes, fes totes les divisions entre un terme i l’anterior. Què observes?
1/1
2/1
3/2
5/3
...
Aquest nombre és conegut com a nombre auri, nombre d’or o proporció divina.
Curiosament, el nombre d'or el podem trobar també en la natura, de vegades en llocs insospitats:
En cada rusc d'abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.
En la disposició dels pètals de les flors (anomenada llei de Ludwig en botànica).
En la relació entre els nervis del tall d'una fulla.
En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre d'or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és a causa del fet que el nombre d'or és el nombre irracional que triga més a convergir i, per tant, l'efecte que crea aquest angle és precisament el d'evitar que mai les fulles se superposin completament).
En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de gira-sol.
En l'espiral dels cargols "nautilus", que són espirals d'or, logarítmiques.
En les espirals d'una pinya.
En alguns quasicristalls com el de l'aliatge de zinc, magnesi i holmi, que formen un dodecaedre regular. No és el cas dels cristalls de pirita dodecaèdrics (piritoedres), en què les cares són pentàgons amb quatre costats iguals i un de diferent, i la figura resultant té la simetria del tetraedre, anomenada Th (3*2), i no pas pentagonal.
Algunes d'aquestes aparicions poden arribar-se a explicar mitjançant les successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. D'altres, però, són aparicions més misterioses.
El nombre auri, també és el quocient entre la diagonal d'un pentàgon regular i el seu costat. El seu valor és 1,618 033 988 749...