9 класс

Все задачи регаты с решениями

1.2. Существует ли выпуклый четырехугольник, у которого каждая диагональ не больше, чем любая сторона?

2.1. Докажите, что если a ≤ 1, b ≤ 1 и a + b ≥ 0,5, то (1 – a)(1 – b) ≤

2.2. В треугольнике ABC угол C равен 135°. На стороне AB вне треугольника построен квадрат с центром O. Найдите OC, если AB = 6.

3.2. В треугольнике ABC из вершин A и B проведены биссектрисы, а из вершины C – медиана. Оказалось, что точки их попарного пересечения образуют прямоугольный равнобедренный треугольник. Найдите углы треугольника ABC.

4.2. Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны его вершинам B и C относительно прямых AC и AB соответственно. Окружности, описанные около треугольников ABB' и ACC' вторично пересекаются в точке P. Докажите, что прямая AP проходит через центр окружности, описанной около ABC.

5.2. На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что AB = 16, BC = 12. Найдите EF.