Занятие 4. Раскраски

Занятие 3. Четность Занятие 5. Логика

1. а) Можно ли разрезать шахматную доску на доминошки?

б) Шахматную доску с вырезанной угловой клеткой?

в) Две вырезанные угловые вдоль одной стороны?

г) Две вырезанные угловые по диагонали?

2. Шахматный король обошел всю доску 8×8, побывав на каждой клетке по одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку.

Докажите, что он сделал четное число диагональных ходов.

3. Отметьте на доске 8×8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

4. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки а1, закончив в клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

5. На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток, не имеющих общих точек.

6. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

7. Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.