Золотые задачи

Золотая задача № 1

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2,…8, 9 так, чтобы сумма никаких двух соседних чисел не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Золотая задача № 2

Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от полутора до двух часов. Сколько времени варится вкусное волшебное зелье?

Золотая задача № 3

Некоторые жители Острова Разноцветных Лягушек говорят только правду, а остальные всегда лгут. Трое островитян сказали так:

Бре: На нашем острове нет синих лягушек.

Ке: Бре лгун. Он же сам синяя лягушка!

Кекс: Конечно, Бре лгун. Но он красная лягушка.

Водятся ли на этом острове синие лягушки?

Золотая задача №4

Король стоит на поле а1 шахматной доски. За ход его можно сдвинуть вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. Двое ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет, первый или второй? И как ему для этого надо играть?

Золотая задача №5

Можно ли разрезать доску 10х10 на прямоугольники 1х4

Золотая задача № 7

В Совершенном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими площадями. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими. Начертите возможный план такого города

Золотая задача № 8

Саша выписывает в ряд натуральные числа. Каждое следующее число больше предыдущего на 1, на 2, или на 3. Докажите, что рано или поздно в этом ряду появятся 100 чисел (не обязательно подряд), имеющих общий делитель больше 1

Золотая задача № 9

В шеренгу стоят 100 человек, каждый из которых рыцарь (они всегда говорят правду) или лжец (они всегда лгут). Каждый из них сказал: Количество лжецов слева от меня больше количества рыцарей справа от меня. Сколько может быть лжецов в такой шеренге?

Золотая задача № 10

Площадь клетчатого прямоугольника равна n клеток. Каким свойством должно обладать число n, чтобы можно было однозначно определить его периметр?

Золотая задача № 11

Карта Старого города представляет из себя квадрат 5х5 клеточек. По линиям сетки проложены улицы, клетки застроены кварталами домов. В двух противоположных вершинах центральной клетки расположены точки А и В. Турист хочет прогуляться по улицам от точки А до точки В, так, чтобы его маршрут был как можно длиннее, но при этом оказываться два раза в одной точке ему неинтересно. Нарисуйте самый длинный маршрут от точки А до точки В и докажите, что более длинного нет.

Золотая задача №12

Поля клетчатой доски размером 8x8 будем по очереди закрашивать в зеленый цвет так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно закрасить 28 клеток, соблюдая это условие. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.)

Золотая задача №13

Нарисуйте на клетчатой бумаге треугольник с вершинами в углах клеток, две медианы которого перпендикулярны. (Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.)

Золотая задача №14

Ученик шел от дома до школы со скоростью 3 км/ч и опоздал на урок на 1 мин. В другой раз он пошел со скоростью 4 км/ч и пришел за 3 мин до начала урока. С какой скоростью ему нужно идти в следующий раз, чтобы прийти в точности к началу урока?

Золотая задача № 15

Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки, из которых можно сложить и треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это можно сделать.

Золотая задача № 16

Володя называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1 почти-квадратом. Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат. Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2014 почти-квадратов