Занятие 3. Четность

1. Сумма двух чисел чётна. Каким — чётным или нечётным — будет их произведение? А если чисел три?

2. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

3. Можно ли доску размером 5 × 5 заполнить доминошками размером 1 × 2?

4. Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу или отнимает от него единицу. Может ли в конце получиться число 10?

5. Отличник Поликарп купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Двоечник Колька вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. В ответе у Кольки получилось 2002. Не ошибся ли он?

6. Два класса с одинаковым количеством учеников написали контрольную. Проверив контрольные, строгий директор Фёдор Калистратович сказал, что он поставил двоек на 13 больше, чем остальных оценок. Не ошибся ли строгий Фёдор Калистратович?

7. На доске 25 × 25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали.

Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали.

8. На волшебной яблоне выросли 15 бананов и 20 апельсинов. Если сорвать один из плодов — вырастет такой же, если одновременно сорвать два одинаковых плода — вырастет апельсин, а если одновременно сорвать два разных плода — вырастет банан. В каком порядке надо срывать плоды, чтобы на яблоне остался ровно один плод? Можете ли Вы определить, какой это будет плод? Можно ли срывать плоды так, чтобы на яблоне ничего не осталось?