10 сентября

Конспект по теме "Четырехугольники"

При решении многих задач требуется выдвинуть гипотезу и обосновать ее (провести доказательство). При решении домашних задач можно пользоваться доказанными утверждениями из задач классной работы.

Знаком + обозначены задачи и теоремы, которые войдут в зачёт как обязательный материал. Решения этих задач, а также формулировки и доказательства этих теорем надо записать в конспект, причём каждую неделю надо показывать учителю 4 задачи из конспекта.

1. +а) Посчитайте сумму углов произвольного четырехугольника? Что можно сказать про сумму углов выпуклого многоугольника? Для чего существенно условие выпуклости? Почему его не было в случае четырехугольника? б)** Как вычислить сумму углов произвольного многоугольника? в) Сколько в выпуклом n-угольнике может быть острых углов? г) Сколько в n-угольнике может быть углов, больших развернутого? д) Чему равна сумма внешних углов выпуклого n-угольника?

+2. Найдите и докажите свойство диагоналей ромба.

+3. Найдите и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

+4. Найдите и докажите признак ромба, выделяющий его из семейства параллелограммов. («Если в параллелограмме …, то он является ромбом»).

+5. Найдите и докажите признак ромба, выделяющий его из семейства четырехугольников. («Если в четырехугольнике…, то …»).

+6. Найдите и докажите признаки прямоугольника, выделяющие его из разных семейств.

7. Определите вид четырехугольника, образуемого биссектрисами углов параллелограмма. В каких случаях четырехугольник вырождается? Сформулируйте и исследуйте обратное к полученному вами утверждение.

+ 8. Что можно сказать о признаках и свойствах квадрата?

9. В шестиугольнике есть две пары равных и параллельных сторон. Изучите его свойства. Обобщите задачу на другие многоугольники.

+10. Дан четырехугольник АВСD, в котором АВ=ВС и АD=DС. Такой четырехугольник называется дельтоидом. а) Дайте словесное определение дельтоида, б) Найдите и докажите свойства дельтоида, в) Найдите и докажите признаки дельтоида, г) Придумайте и докажите признак ромба, выделяющий его из семейства дельтоидов, д) Может ли дельтоид иметь ровно: один, два, три, четыре прямых угла?

+11. (Средняя линия треугольника) Определение. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

а) Сколько в треугольнике средних линий? б) Найдите и докажите два свойства средней линии треугольника.

12. В треугольнике ABM вершины A и B фиксированы, а вершина M двигается по плоскости. Найдите положение точки M, при котором длина средней линии A’B’ наименьшая.

+13. Через вершины треугольника проведены прямые параллельные противоположным сторонам. Что можно сказать о получившемся треугольнике?

+14. (Теорема Вариньона) Что получится, если соединить середины сторон четырехугольника? Можно ли обобщить теорему на случай шестиугольников?

15. Середины сторон четырехугольника являются вершинами а) квадрата б) ромба в) прямоугольника. Что можно сказать о данном четырехугольнике?

+16. (Средняя линия трапеции) Определение. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции.

а) Сколько в трапеции средних линий? б) Найдите и докажите два свойства средней линии трапеции.

17. Биссектрисы двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне АВ пересекаются в точке О. а) Что можно сказать о треугольнике АВО? б) Где может лежать точка О?

+18. Равнобедренная трапеция.

Определение. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

1) Найдите и докажите два свойства равнобедренной трапеции.

2) Сформулируйте утверждения обратные, доказанным в пункте 1). Верны ли они? Если верны – докажите, если не верны, приведите опровергающий пример.

3) Соединили середины сторон равнобедренной трапеции. Какой четырехугольник получился?

4) Какой четырехугольник образуют биссектрисы четырех углов равнобедренной трапеции? Всегда ли такой четырехугольник образуется?

19. Основания трапеции равны a и b. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если а) Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90⁰, б) диагонали трапеции перпендикулярны.

+20. Задав необходимое количество элементов (сторон и углов), постройте параллелограмм.

+21. Задав необходимое количество элементов (сторон и углов), постройте трапецию.

22. Постройте четырехугольник по сторонам и углу между противоположными сторонами. Всегда ли построение возможно? Единственно?

23. Может ли дельтоид быть трапецией?

24. Может ли трапеция быть дельтоидом? (шутка)