Trang 5_Hình học

Nối BE và DE cắt BF tại K.

Trong tam giác ABC ta có: S_ABE = 1/2 S_ABC (1)

(AE = 1/2AC , chung đường cao kẻ từ B).

Tương tự ta có S_ADE = 1/2 S_ADC (2)

Từ (1) và (2) cho ta S_ABED = 1/2 S_ABCD

Hình thang DBEF cho ta S_BFE = S_DFE

(chung cạnh đáy FE, hai đường cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang).

Mà 2 tam giác này có phần chung là S_KFE suy ra S_BKE = S_DKF (3)

Ta thấy: S_ABFD = S_ABED – S_BKE + S_DKF

Theo (3) ta có: S_ABFD = S_ABED

Hay S_ABFD = 1/2 S_ABCD

Vậy đoạn thẳng BF chia hình tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 74:

Cho hình thang vuông ABCD, vuông góc tại A và D, đáy AB=1/3 CD.Kéo dài DA và CB cắt nhau tại E.

a) So sánh diện tích hai hình tam giác ABC và ADC.

b)Biết diện tích tam giác ABE bằng 7 xăng-ti-mét vuông. Tìm diện tích hình thang ABCD

a)

Xét 2 tam giác ABC và ADC có: AB = 1/3DC, hai đường cao tươg ứng với 2 cạnh đáy bằng nhau bằng chiều cao hình thang.

Vậy S_ABC = 1/3 S_ADC

b)

Nối BD. Tương tự ta có S_ABD = 1/3 S_BDC

2 tam giác EBD và ECD có chung cạnh đáy AD, 2 đường cao của 2 tam giác này AB = 1/3DC

Vậy: S_EBD = 1/3 S_ECD

Mặt khác 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ D xuống EC nên EB = 1/3 EC hay EB = 1/2 BC

S_EBD = 1/2S_BDC.

Phân số chỉ 7cm² là: 1/2 – 1/3 = 1/6 (S_BDC)

Diện tích tam giác BDC : 7 x 6 = 42 (cm²)

Diện tích tam giác ABD: 42 : 3 = 14 (cm²)

Diện tích hình thang ABCD: 42 + 14 = 56 (cm²)

Bài 75:

Cho hình thang ABCD, AB = 1/2 CD. Kéo dài DA cề phía A và CB về phía B cắt tại M.

a) Tì tỉ số MA/MD và MB/MC

b) tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích MAB = 9cm²

a)Ta có S_ABD = 1/2 S_ACD = 1/2 S_BDC (1)

(Vì AB=1/2CD, 2 đường cao tương ứng bằng nhau bằng chiều cao hình thang).

Mà 2 tam giác này có AD chung. Suy ra đường cao kẻ từ C xuống AD gấp 2 lần đường cao kẻ từ B xuống AD.

Hai đường cao này cũng là 2 đường cao của 2 tam giác MBD và MCD.

Hai tam giác này có cạnh đáy MD chung nên S_MBD = 1/2S_MCD (2)

Từ (1) và (2) cho ta S_MAB = S_ABD. Hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ B. Suy ra MA = AD hay MA = 1/2MD => MA/MD = 1/2

Tương tự: MB/MC = 1/2

b)S_ABCD = S_ABD + S_BCD = 9 + 9x2 = 27 (cm²)

Bài 76:

Một sân trường có chu vi bằng 142m. Nếu tăng chiều rộng thêm 15m, đồng thời giảm chiều dài đi 15m thì diện tích của sân trường không thay đổi. Tính diện tích sân trường đó? (Trang ndphithanh)

Để diện tích sân trường không đổi thì 2 hình chữ nhật nhỏ phải có diện tích bằng nhau và có chiều rộng bằng nhau 15m, chiều dài bằng chiều rộng sân trường.

Cho ta thấy sân trường có chiều dài hơn chiều rộng 15m.

Nửa chu vi sân trường là:

142 : 2 = 71 (m)

Chiều rộng sân trường là:

(71 – 15) : 2 = 28 (m)

Chiều dài sân trường là:

71 – 28 = 43 (m)

Diện tích sân trường là:

43 x 28 = 1204 (m²)

Đáp số: 1204 m².

Bài 77:

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính diện tich hình thang đó, biết diện tích tam giác AOB = 4cm², diện tích tam giác COD = 8cm²

S_ABD/S_BDC = AB/DC => S_AOB/S_BOC = AB/DC

Tương tự: S_BOC/S_DOC = AB/DC

Suy ra: S_AOB/S_BOC = S_BOC/S_DOC

S_BOC x S_BOC = S_AOB x S_DOC = 4 x 8 = 32

S_BOC ≈ 5,65 (cm²)

Ta lại có: S_AOD = S_BOC

(Do SABD = SABC có ABO là phần chung)

Vậy: S_ABCD = 8 + 4 + 5,65 + 5,65 = 23,3 (cm²)

Bài 78:

Cho hình thang ABCD; đáy nhỏ AB; đáy lớn CD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. Biết diện tích tam giác ABI là 24,5 cm²; diện tích tam giác ICD là 98 cm². Tính diện tích hình thang ABCD.

Hình thang ABCD cho ta S_AID=S_BIC gọi diện tích 2 hình tam giác này là n.

Xét 2 tam giác AIB và AID chung đường cao kẻ từ A nên 2 cạnh đáy IB và ID tỉ lệ với 2 diện tích: IB/ID = 24,5/n

Tương tự với 2 tam giác CIB và CID ta có IB/ID = n/98

Suy ra: 24,5/n = n/98

n x n = 98 x 24,5 = 2401

Vậy n= 49

S_ABCD = 24,5 + 98 + 49x2 = 220,5 (cm²)

Bài 79:

Một hình chữ nhật có chu vi là 18 cm. Nếu giảm chiều dài 20% và tăng chiều rộng 25% thi chu vi không đổi. Tính diện tích hình chữ nhật.

Nửa chu vi (a+b) là: 18 : 2 = 9 (cm)

Ta có : a + b = 80% a + 125% b

=> 20% a = 25% b

=> 1/5. a = 1/4 . b

Cho biết a có 5 phần thì b có 4 phần.

Tổng số phần bằng nhau: 4 + 5 = 9 (phần)

Chiều dài: 9 : 9 x 5 = 5 (cm)

Chiều rộng: 9 – 5 = 4 (cm)

Diện tích: 5 x 4 = 20 (cm²)

Đáp số: 20 (cm²)

Bài 80:

Cho hình thang ABCD có đáy DC = AB x 2. Trên AB lấy điểm M sao cho AM = BM; DM cắt AC tại K.

a. Tìm tỉ số diện tích 2 tam giác ACM và DMC; AKD và MKC.

b. Biết diện tích hình tam giác MCB = 15 cm2. Tính diện tích hình tam giác AMK

a).

Do DC=ABx2 nên S_ABC = 1/2 S_DMC (1)

Hai tam giác này có 2 đường cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang ABCD.

Mặt khác S_ACM = 1/2 S_ABC (2)

Vì AM=BM hay AM=1/2AB và hai tam giác này có chung đường cao kẻ từ C

Từ (1) và (2) suy ra S_ACM = 1/4 S_DMC

Trong hình thang AMCD cho ta S_AMD = S_AMC (chung cạnh đáy AM và có 2 đường cao bằng nhau bằng chiều cao của hình thang).

Mà 2 tam giác AMD và AMC có phần chung là AMK nên:

S_AKD = S_MKC

b).

Ta có S_AMC = S_BMC = 15 cm² (AM=MB; chung đường cao).

Hay: S_AMD = S_AMC = S_BMC

Xét 2 tam giác AMD và CMD có AM=1/4DC (từ đề bài) và 2 đường cao bằng nhau bằng chiều cao hình thang. Nên S_AMD = 1/4S_CMD.

Hai tam giác này lại có chung cạnh đáy MD nên đường cao kẻ từ A bằng 1/4 đường cao kẻ từ C xuống MD.

Hai đường cao này cũng chính là 2 đường cao của 2 tam giác AMK và CMK. Mặt khác hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ M xuống AC nên suy ra AK = 1/4KC

=> S_AMK = 1/4S_CMK => S_AMK = 1/5S_AMC

S_AMK = 15 : 5 = 3 (cm²)

Bài 81:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM=1/2 MC và trên cạnh CA lấy điểm N sao cho NC=1/3 NA. Đường thẳng MN cắt cạnh AB kéo dài tại điểm K.

a, Đường thẳng MN cắt tam giác ABC thành 2 phần. Tính diện tích các phần đó nếu biết diện tích tam giác ABC bằng 36cm².

b, So sánh các đoạn KA và KB.

a).Nối AM.

Từ BM = 1/2 MC => MC = 2/3 BC ; NC = 1/3 NA => NC = 1/4 AC

S_AMC = 2/3 S_ABC = 2/3 x 36 = 24 (cm²)

Vì MC = 2/3 BC, hai tam giác có chung đường cao kẻ từ A.

S_MNC = 1/4 S_AMC = 1/4 x 24 = 6 (cm²)

S_AMNB = S_ABC – S_MNC = 36 – 6 = 30 (cm²)

b).Nối BN ; KC.

S_KBM = 1/2 S_KCM (Vì BM=1/2MC, chung đường cao kẻ từ K).

Hai tam giác này có KM chung nên đường cao kẻ từ C gấp 2 lần đường cao kẻ từ B xuống KM. Mà 2 đường cao này cũng là 2 đường cao của hai tam giác NKC và NKB có cạnh đáy KN chung.

Suy ra : S_NKB = 1/2 S_NKC (1)

Mà : S_NKC = 1/3 S_NKA (2)

(NC = 1/3NA, chung đường cao kẻ từ K).

Từ (1) và (2) cho ta : S_NKB = 1/6 S_NKA.

Hai tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ N xuống AK.

Suy ra : KB = 1/6 KA

Bài 82:

Trong hình vẽ bên là một tam giác được tạo nên từ ba mảnh giấy màu khác nhau. Hai mảnh giấy đỏ và xanh có hình tam giác vuông với cạnh lớn nhất dài tương ứng 10 cm và 6 cm, còn mảnh giấy vàng là hình vuông. Tính tổng diện tích các mảnh giấy đỏ và xanh?

Do ADEG là hình vuông nên DE=EG. Góc G của tam giác GEC là góc vuông nên ta có thể di chuyển tam giác GEC ghép vào cạnh DE để có tam giác mới DEH bằng với tam giác GEC.

Tam giác vuông BEH (kiểm tra bằng ê ke) có 2 cạnh góc vuông bằng 10cm và 6cm. Diện tích hình tam giác này bằng tổng diện tích 2 tam giác DBE và DEH. Chính là tổng của 2 tam giác DBE và GEC.

Tổng diện tích 2 tam giác đó là: 10 x 6 : 2 = 30 (cm²)

Bài 83:

Cho tam giác ABC .Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 x AB , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = 1/2 x BC . Kéo dài NM và CA cắt nhau tại K

a, So sánh diện tích tam giác AMN và diện tích tam giác CMN.

b. So sánh độ dài các đoạn thẳng KA và AC

a).Ta có: S_ABN = S_ANC (BN=NC và chung đường cao kẻ từ A).

=> S_ABN = 1/2 S_ABC

S_AMN = 1/3 S_ABN (AM=1/3AB và chung đường cao kẻ từ N).

=> S_AMN = 1/3 x 1/2 S_ABC = 1/6 S_ABC (1)

Ta lại có : S_CMB = 2/3S_ABC (MB=2/3AB và chung đường cao kẻ từ C).

S_CMN = 1/2S_CMB (BN=NC và chung đường cao kẻ từ M).

=> S_CMN = 1/2 x 2/3 S_ABC = 2/6S_ABC (2)

Từ (1) và (2) ta được:

S_CMN = S_AMN x 2

b)Nối KB.

Từ 2 tam giác MBN và MNC có diện tích bằng nhau và chung cạnh đáy MN nên hai đường cao kẻ từ B và C xuống MN bằng nhau.

Suy ra S_KBM = S_KMC (chung cạnh đáy KM và hai đường cao tương ứng bằng nhau).

Mặt khác: S_KMA = 1/2S_KMB (AM=1/2MB và chung đường cao kẻ từ K).

Hay: S_KMA = 1/2S_KMC => S_KMA = S_CMA

Hay tam giác này lại có chung đường cao kẻ từ M nên:

KA = AC

Bài 84:

Cho hình vuông ABCD có cạnh 20cm. M là điểm chính giữa cạnh BC . N là điểm chính giữa cạnh CD. Đoạn AM và đoạn BN cắt nhau tại O. Tính diện tích tứ giác AOND.

Nối AN; OC.

S_ABN = 2.S_BNC (AB=2.NC, hai đường cao bằng nhau bằng cạnh hình vuông).

Hai tam giác này có cạnh BN chung nên đường cao kẻ từ A gấp 2 lần đường cao kẻ từ C xuống BN.

=> S_ABO = 2.S_BOC (có chung cạng đáy BO).

Mà S_OBM = S_OCM (MB=MC, chung đường cao kẻ từ O).

Nên S_ABO = 4.S_BOM

Diện tích tam giác ABM:

20 x 10 : 2 = 100 (cm²)

Diện tích tam giác BOM:

100 : (4+1) = 20 (cm²)

Ta lại có S_ABM = S_BNC = 100 cm².

Diện tích hình vuông ABCD là :

20 x 20 = 400 (cm²)

Diện tích tứ giác AOND là :

400 – (100 + 100 – 20) = 220 (cm²)

Đáp số : 220 cm².