5.Phân số_Hỗn số
Một số quy luật về toán PHÂN SỐ
TRANG 1: từ bài 01 đến bài 32 TRANG 2: Từ bài 33 đến ...........
Bài 1: Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số rút gọn có giá trị bằng 3/5 mà tử số và mẫu số đều có 3 chữ số
Phân số có giá trị là 3/5 mà mẫu và tử đều là số có 3 chữ số, gồm:
102/170 ; 105/175;……….. ; 594/990; 597/995
Trước nhất ta tìm số nhỏ nhất chia hết cho 3 là (102) 3 ta tìm được mẫu số tương ứng bằng 3/5 là (170). Mẫu số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5 (995), tìm được tử số tương ứng (597) chia hết cho 3.
Dãy tử số cần tìm: 102; 105; ………. ; 594; 597 có số số hạng:
(597 – 102) : 3 + 1 = 166 (số hạng)
Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:
Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số mà tích giữa tử số và mẫu số của nó bằng 100?
Ta tìm những cặp số có tích bằng 100, là:
1 và 100 ; 2 và 50 ; 4 và 25 ; 5 và 20 ; 10 và 10
Mỗi cặp tao tạo được 2 phân số. Riêng cặp 10 và 10 chỉ tạo được 1 mà thôi.
Vậy số phân số là: 4 x 2 + 1 = 9 (phân số)
(1/100 ; 100/1 ; 2/50 ; 50/2 ; 4/25 ; 25/4 ; 5/20 ; 20/5 ; 10/10)
Bài 5:
Tìm một phân số. Nếu chuyển mẫu sỗ 1 đơn vị lên tử số thì phân số có giá trị bằng 1. Còn nếu bớt tử số và mẫu số 7 đơn vị thì phân số đó có giá trị bằng 2/3.
Nguyễn Thị Kim Tiền
Chuyển mẫu số 1 đơn vị lên tử số có giá trị bằng 1 thì phân số có mẫu lớn hơn tử 1+1=2 (đv).
Cùng bớt ở tử và mẫu một số đơn vị như nhau thì hiệu vẫn không đổi.
Tử số: |___|___|
Mẫu số: |___|___|_2_|
Tử số sau khi bớt: 2 x 2 = 4
Tử số của phân số cần tìm là: 4 + 7 = 11
Mẫu số của phân số: 11 + 2 = 13
Đáp số: 11/13
Bài 6. Toan violympic5
Tính: (1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/98)*(1+1/99)
Phan Anh Tuấn
(1+1/2)*(1+1/3)*(1+1/4)*...*(1+1/98)*(1+1/99)
= 3/2 x 4/3 x 5/4 x ... x 99/98 x 100/99 (giản ước ta được)
= 100/2 = 50
Nguyễn Xuân Trường
Bài 7:
Chứng tỏ rằng:
100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
Phan Anh Tuấn
Cách 1:
Ta xem bên trái dấu bằng (=). Trong ngoặc đơn có 100 số hạng bé hơn 1 nên ta chia 100 thanh 100 con số 1 để trừ đi từng số hạng trong ngoặc, ta được:
(1-1)+(1-1/2)+(1-1/3)+……….+(1-1/100) =
0 + 1/2 + 2/3 + ……….+ 99/100
Vậy: 100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
TTH.
Cách 2:
100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
100- 1-1/2-1/3-...-1/100 = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
100 = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 2/3 + ... + 1/100 + 99/100 (cùng cộng 2 vế với (- 1-1/2-1/3-...-1/100)
100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (100 số hạng)
100 = 100
Vậy 100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
Nguyễn Xuân Trường
Bài 8
Bài 9
Tính:
Bài 10:
Hãy cho biết có bao nhiêu phân số mà tổng của tử số và mẩu số của mỗi phân số đó bằng 2012?
Các cặp số có tổng bằng 2012 là:
2012 + 0 ;
2011 + 1
2010 + 2
…….
1007 + 1005
1006 + 1006
Số cặp số (2012-1006)+1=1007 (cặp)
Trong đó mỗi cặp số ta lập được 2 phân số, có 2 cặp chỉ tạo được 1 phần số, đó là: 0 + 2012 và 1006+1006
Số phân số: (1007-2)x2+2= 2012 (phân số)
Bài 11: (như bài 7)
Chứng tỏ rằng:
100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
Xét vế bên trái dấu bằng(=)
Ta lấy 100 chia thành 100 số 1 để:
(1-1) + (1-1/2) + (1-1/3) + ……..+ (1-1/99) + (1-1/100) =
0 + 1/2 + 2/3 + ……. + 98/99 + 99/100 bằng vế bên phải.
Vậy : 100-(1+1/2+1/3+...+1/100) = 1/2+2/3+3/4+...+99/100
Bài 12:
Chứng tỏ rằng :
7/12 < 1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 + 1/80 < 5/6
Nguyễn Xuân Trường
Giải
*.Ta có:
7/12 = 4/12 + 3/12 = 1/3 + 1/4 = 20/60 + 20/80
1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 = (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) + (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80)
Do 1/41> 1/42 > 1/43 > ...>1/59 > 1/60
=> (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) > 1/60 + ...+ 1/60 = 20/60
và 1/61> 1/62> ... >1/79> 1/80
=> (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80) > 1/80 + ...+ 1/80 = 20/80
Vậy: 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 20/60 + 20/80 = 7/12
=> 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 > 7/12
*.Ta có lại có:
5/6 = 2/6 + 3/6 = 1/3 + 1/2 = 20/60 + 20/40
1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 = (1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60) + (1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80)
Do 1/40> 1/41> 1/42 > 1/43 > ...>1/59 > 1/60
=> 1/40+1/40+…+1/40= 20/40>(1/41 + 1/42 + 1/43 + ...+ 1/60)
và 1/60> 1/61> 1/62> ... >1/79
=> 1/60+1/60+….+1/60= 20/60>(1/61 + 1/62 +...+ 1/79 + 1/80)
Vậy: 20/40+20/60=5/6> 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80
=> 1/41 + 1/42 + 1/43 +...+ 1/79 + 1/80 < 5/6
Vậy: 7/12 < 1/41 + 1/42 + 1/43 + ... + 1/79 + 1/80 < 5/6
Bài 13:
Tính: 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + .......... + 1/10100 (có 100 số hạng)
Ta có: 1/2 = 1/1.2 ; 1/6 = 1/2.3 ; 1/12 = 1/3.4 ; ………. ; 1/10100 = 1/100.101
Mà: 1/1.2 = 1/1 – 1/2
1/2.3 = 1/2 – 1/3
1/3.4 = 1/3 – 1/4
………………
Nên: 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + .......... + 1/10100
= 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ……… + 1/100 – 1/101
=1 – 1/101 = 100/101
Bài 14: Tính tổng các phân số
Tính tổng: 1/10 + 1/15 + 1/21 + 1/28 + ........... + 1/120
Nhân tử và mẫu cá phân số với 2, ta được:
2/20 + 2/30 + 2/42 + 2/56 + ………..+ 2/240
mà:
2/20 = 2/4.5 ; 2/30 = 2/5.6 ; 2/42 = 2/6.7 ; …… ; 2/240 = 2/15.16
Viết lại:
2.(1/4.5 + 1/5.6 + 1/6.7 + …….. + 1/15.16) =
2.(1/4 – 1/5 + 1/5 – 1/6 + 1/6 – 1/7 + ……… + 1/15 – 1/16) =
2.(1 – 1/16) = 15/8
Bài 15:
Ngày thứ nhất An làm được 3/5 số bài tập cô giáo cho về nhà, ngày thứ hai An làm thêm được 52 bài tập nữa, số bài tập còn lại bằng 1/8 số bài tập An đã làm. Tìm số bài tập cô giáo đã cho An về nhà.
Xuan Hung
Phân số chỉ số bài tập còn lại so với tất cả: 3/5 x 1/8 = 3/40 (tất cả)
Phân số chỉ số bài An đã làm và chưa làm: 3/5 + 3/40 = 27/40 (tất cả)
Phân số chỉ 52 bài là: 1 – 27/40 = 13/40 (tất cả)
Bài tập cô giáo giao cho An về nhà: 52 : 13 x 40 = 160 (bài)
Bài 16
a).Từ 1/2 ; 1/3 ; đến 1/10 có 9 số hạng.
Ta thấy: 9/10 = 1/10+1/10+1/10+….1/10 có 9 số hạng.
Mà: 1/2 ; 1/3 ; 1/4 ; ….; 1/9 đều lớn hơn 1/10
Nên: 1/2+1/3+1/4+…+1/9+1/10 > 1/10+1/10+…+1/10 (9 số hạng).
Vậy: 1/2+1/3+1/4+…+1/9+1/10 > 9/10
b).Phân tích 1= 1/4+1/4+1/4+1/4 (4 lần 1/4)
Ta thấy: 1/4 = 1/4 (1 lần 1/4)
1/9 + 1/16 < 1/8+1/8 = 1/4 (2 lần 1/4)
1/25+1/36+1/49+1/64+1/81+1/100 < 1/24+1/24+1/24+1/24+1/24+1/24=1/4 (3 lần 1/4)
Vậy: 1/4+1/9+1/16+…+1/81+1/100<1/4+1/4+1/4 = 3/4 <1
1/4+1/9+1/16+…+1/81+1/100<1
Bài 17:
Học kỳ I số HS giỏi của lớp 4A bằng 2/5 số HS còn lại. Sang học kỳ II, số HS giỏi tăng thêm 4 bạn (số HS cả lớp không thay đổi) nên số HS giỏi bằng 2/3 số HS còn lại. Hỏi Học kỳ I lớp 4A có bao nhiêu HS giỏi?
Cao Nguyên Phương
2/5 số HS còn lại cho ta biết số học sinh giỏi có 2 phần thì số HS còn lại có 5 phần. hay nói cách khác số HS cả lớp có 2+5=7 (phần) thì HSG HK1 được 2/7 số HS.
Tương tự SHG HK2 có 2/(3+2)=2/5 số HS.
Phân số chỉ 4 HSG 2/5 – 2/7 = 4/35 số HS
Số HS lớp 4A: 4 : 4 x 35 = 35 (HS)
Số HSG HK1: 35 x 2/7 = 10 (HS)
Đáp số: 10 học sinh giỏi HK1
Bài 18:
Viết mỗi phân số sau thành tổng của 2 phân số khác nhau có tử số là 1: 5/6 và 7/8
Huỳnh Thị Thanh
*.5/6 = 2/6+3/6 = 1/3+1/2
*.Nhận xét về phân số 7/8.
7 phải là tổng của 2 số: 1 chẵn và 1 lẻ. Tử số lẻ chỉ có thể là 1 mới có được phấn số có tử bằng 1 và mẫu số bằng 8 (1/8).
7-1=6, phân số 6/8 không thể có phân số nào khác bằng với nó mà có tử số bằng 1.
7/8 chỉ có thể viết bằng tổng 3 phân số khác nhau có tử số bằng 1.
7/8 = 1/8+2/8+4/8 = 1/8+1/4+1/2
Chỉ có tổng đại số (THCS): 7/8 = 1/1 - 1/8
Toán Tiểu Học Pl
Bài 19: Phân số (Huỳnh Thị Thanh)
1.Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số có tổng tử số và mẫu số bằng 100.
2.Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số có tổng tử số và mẫu số bằng 2013.
3.Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số có tích tử số và mẫu số bằng 100.
4.Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số có tích tử số và mẫu số bằng 60.
5.Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số có tích tử số và mẫu số bằng 90.
Huỳnh Thị Thanh
1.Mẫu số phải khác 0.
Gọi a là mẫu số nên a sẽ từ 1 đến 100.
Ứng với từng mẫu số ta sẽ có tử số là 100-a
(Cụ thể: 99/1 ; 98/2 ; …… ; 1/99 ; 0/100).
Vậy có 100 phân số.
2.Tương tự: có 2013 phân số.
3.Tích 2 số bằng 100 gồm: 1x100 ; 2x50 ; 4x25 ; 5x20 ; 10x10.
Có 5 cặp số có tích bằng 100, mỗi cặp ta sẽ tạo được 2 phân số. Riêng cặp 10x10 chỉ tạo được 1 phân số.
Vậy có: 5x2-1 = 9 (phân số)
4.Tương tự bài 3: 1x60 ; 2x30 ; 3x20 ; 4x15 ; 5x12 ; 6x10
Có 6 cặp được 6x2 = 12 (phân số)
5.Có: 1x90 ; 2x45 ; 3x30 ; 5x18 ; 6x15 ; 9x10.
Có 6 cặp được 6x2 = 12 (phân số)
Bài 20
So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên):
n+1/n+2 và n+3/n+4
Vũ Mạnh Dũng
Bài 21:
Tìm phân số tối giản a/b biết rằng khi thêm 12 vào tử số và thêm 18 vào mẫu số thì được phân số mới cũng bằng a/b.
Hai phân số bằng nhau, ta có: a/b=c/d = (a+c)/(b+d)
Vậy phân số đó là: 12/18 = 2/3
(vì 2/3 công thêm sẽ bằng 14/21=2/3)
Bài 22:
Tìm một phân số có giá trị bằng 3/5 và nếu cộng thêm 4 đơn vị vào tử số thì được phân số mới có giá trị bằng 2/3.
Phân số 3/5 = 9/15
Phân số 2/3 = 10/15
Tử số phân số ban đầu có 9 phần thì tử số của phân số mới có 10 phần;
10 – 1 = 1 (phần)
Vậy 1 phần ứng với 4 đơn vị.
Phân số cần tìm là: (9x4) / (15x4) = 36/60
Bài 23:
Tìm một phân số có giá trị bằng 4/5 và nếu bớt 6 đơn vị ở tử số thì được phân số mới có giá trị bằng 3/4.
Phân số 4/5 = 16/20
Phân số 3/4 = 15/20
Tử số phân số ban đầu có 16 phần thì tử số của phân số mới có 15 phần;
16 – 15 = 1 (phần)
Vậy 1 phần ứng với 6 đơn vị.
Phân số cần tìm là: (16x6) / (20x6) = 96/120
Bài 24:
Hai lớp 5A và 5B được giao trồng 872 cây hoa. Sau khi mỗi lớp thực hiện được 3/4 kế hoạch thì số cây 5A trồng được hơn số cây 5B trồng được là 24 cây.
Tính số cây mỗi lớp được giao.
¾ kế hoạch của cả 2 lớp: 872 x ¾ = 654 (cây)
Số cây lớp 5B đạt ¾ kế hoạch: (654 – 24) : 2 = 315 (cây)
Số cây lớp 5B được giao: 315 : 3 x 4 = 420 (cây)
Số cây lớp 5A được giao: 872 – 420 = 452 (cây)
Đáp số: 5A được giao 452 cây ; 5B được giao 420 cây
Bài 25:
Tìm một phân số có mẫu số hơn tử số 52 đơn vị và bằng phân số 51/85
Tử số 51 phần, mẫu số 85 phần.
Hiệu số phần bằng nhau: 85-51=34 (phần)
Tử số của phân số cần tìm là: 52 : 34 x 51 = 78
Mẫu số của phân số cần tìm là: 78 + 52 = 130 (hoặc 52:34x85=130)
Phân số đó là: 78/130
Bài 26:
Tìm một phân số bằng 75/100 và có tổng của tử số và mẫu số bằng 224.
75/100 = 3/4 (tử số có 3 phần thì mẫu số có 4 phần).
Tổng số phần bằng nhau: 3 + 4 = 7 (phần)
Tử số của phân số cần tìm là: 224 : 7 x 3 = 96
Mẫu số của phân số cần tìm là: 224 – 96 = 128 (hoặc 224:7x4=128)
Phân số đó là: 96/128
Bài 27:
Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số mà tổng của tử số và mẫu số của mỗi phân số đó bằng 2013.
Ta xem 2 dãy số:
0 1 2 3 ………………….. 2011 2012 2013
2013 2012 2011 2010 ………………….. 2 1 0
Mỗi dãy có 2013 + 1 = 2014 (số hạng)
Hai dãy số ta lập được 2014 – 1 = 2013 (phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 2013)
Loại 2013/0
Bài 28:
Cho A = 1/51 +1/52+1/53+1/54+...+1/98+1/99+1/100. Hãy so sánh A với 1/2
Bài 29:
Cho phân số 5/16. Hãy tìm một số để khi cùng thêm số đó vào ở tử số và mẫu số của phân số đã cho thì được phân số mới có giá trị bằng phân số 2/3.
Khi cùng thêm một số vào tử số và mẫu số của một phân số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn không đổi.. Hiệu là: 16 – 5 = 11
Hiệu số phần bằng nhau: 3 – 2 = 1 (phần)
Tử số của phân số mới là: 11 x 2 = 22
Số cần tìm là: 22 – 5 = 17
Đáp số: 17
Bài 30:
Cho phân số 71/118. Tìm số b để khi thêm b đơn vị vào tử số và bớt mẫu số đi b đơn vị ta được phân số mới có giá trị bằng 3/4.
Khi thêm vào tử số b đơn vị và bớt đi ở mẫu số b đơn vị nên tổng của chúng vẫn không đổi.
71 + 118 = 189
Tổng số phần bằng nhau 3 + 4 = 7 (phần)
Tử số của phân số mới là: 189 : 7 x 3 = 81
Số b là: 81 – 71 = 10
Đáp số: 10
Bài 31:
Một cửa hàng có ba thùng A, B, C để đựng dầu. Trong đó thùng A đựng đầy dầu còn thùng B và C thì đang để không. Nếu đổ dầu ở thùng A vào đầy thùng B thì thùng A còn 2/5 thùng. Nếu đổ dầu ở thùng A vào đầy thùng C thì thùng A còn 5/9 thùng. Muốn đổ dầu ở thùng A vào đầy cả thùng B và thùng C thì phải thêm 4 lít nữa. Hỏi mỗi thùng chứa bao nhiêu lít dầu?
Phân số chỉ số dầu thùng B là:
1 - 2/5 = 3/5 (thùng A).
Phân số chỉ số dầu thùng C là:
1 - 5/9 = 4/9 (thùng A).
Phân số chỉ 4 lít dầu là:
(3/5 + 4/9) - 1 = 2/45 (thùng A).
Số dầu ở thùng A là:
4 : 2 x 45 = 90 (lít).
Số dầu thùng B có thể chứa được là:
90 x 3/5 = 54 (lít).
Số dầu thùng C có thể chứa được là:
90 x 4/9 = 40 (lít).