20.Tính NHANH

Trang 1: Từ 1 đến 20 _ Trang 2: Từ 21 đến....

Bài 1:

Tính nhanh

999999999:81-123456789:10+11111111,1 (9 chữ số 9 và 9 chữ số 1)

999999999:81-123456789:10+11111111,1

= 12345679 – 12345678,9 + 11111111,1

= 0,1 + 11111111,1

= 11111111,2

Bài 2:

a).

2/9 + 6/27 + 8/36 + 12/54 + 16/72 + 18/81 =

2/9 x 6 = 4/3

b).

(1-2/5)x(1-2/7)x(1-2/9)x……x(1-2/99)=

3 x 5 x 7 x ……… x 97 = 3/99

5 x 7 x 9 x ……….x 99

c).

Gọi A= 1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/1024

Nhân A với 2:

Ax2 = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512

Ax2 – A = 1+1/2+1/4+1/8+……..+1/512 – (1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/512+1/1024)

A = 1 – 1/1024 = 1023/1024

Cách 2:

(1-1/2)+(1/2-1/4)+………+(1/512-1/1024) =

1 – 1/1024 = 1023/1024

Bài 3:

Tính tổng: 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.............+ 99x100

Gọi biểu thức trên là A, ta có :

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 99x100

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 99x100x3

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 99x100x(101-98)

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 99x100x101 - 98x99x100.

A x 3 = 99x100x101

A = 99x100x101 : 3

A = 333300

Bài 4:

Tính nhanh.

8/9 x 15/16 x 24/25 x...x 2499/2500

= (2x4)/(3x3) x (3x5)/(4x4) x (4x6) / (5x5) x ... x (49x51) / 50x50)

= 2x4x3x5x4x6x...x49x51 / 3x3x4x4x5x5x...x50x50 (giản ước tử và mẫu)

= (2x51) / (3x50)

= 17/25

Bài 5:

Tính nhanh:

A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100

1/1x2x3= ½ x(1/(1x2) – 1/(2x3)

1/2x3x4= ½ x(1/(2x3) – 1/(3x4)

1/3x4x5= ½ x(1/(3x4) – 1/(4x5)

……………………………

1/98x99x100= ½ (1/(98x99) – 1/(99x100)

A = ½ x (1/1x2 – 1/2x3 + 1/2x3 – 1/3x4 + 1/3x4 – 1/4x5 + …….. + 1/98x99 – 1/99x100)

A = ½ x (1/1x2 – 1/99x100) =1/2 x ( ½ - 1/9900)

= ½ x (4950/9900 – 1/9900) =1/2 x 4949/9900

A = 4949/19800

Hoặc :

Nhân A với 2 ta được:

A = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/98x99x100

= (1/1x2 – 1/2x3) + (1/2x3 – 1/3x4) + (1/3x4 – 1/4x5) + …….. + (1/98x99 – 1/99x100)

= 1/1x2 – 1/99x100 = 1/2 – 1/9900 = 9898/19800

Vậy:

A = 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/98x99x100

= 9898/19800 : 2

A = 4949/19800

Bài 6:

Tính: A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102

A=1x2x3 + 2x3x4 +…+ 100x101x102

Nhân A với 4 ta được:

A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x 4 + 3x4x5x4 +…+100x101x102x4

A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x(5-1) + 3x4x5x(6-2) + ... + 100x101x102x(103 - 99)

A x 4 = 1x2x3x4 + 2x3x4x5 - 1x2x3x4 + 3x4x5x6 - 2x3x4x5 + ... + 100x101x102x103 - 99x100x1001x102

Sau khi cộng - trừ giản ước ta có : A x 4 = 100x101x102x103

A = 100 x101x102x103 : 4 = 26527650

Bài 7:

Tính nhanh: 11 x 34 – ( 34 + 6 x 34 + 102)

Tính nhanh:

11x34-(34+6x34+102) = 11x34 – [34x(1+6+3)] = 11x34 – 10x34 = 34

Bài 8:

Tính nhanh: 2x3+3x4+4x5+5x6+....+29x30

Giải

Gọi biểu thức trên là A, ta có :

A = 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ...+ 29x30

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x3 + 3x4x3 + 4x5x3 + ... + 29x30x3

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x(4-1) + 3x4x(5-2) + 4x5x(6-3) + ... + 29x30x(31-28)

A x 3 = 1x2x3 + 2x3x4 - 1x2x3 + 3x4x5 - 2x3x4 + 4x5x6 - 3x4x5 + ... + 29x30x31 – 28x29x30.

A x 3 = 29x30x31

A = 29x30x31 : 3

A = 8990

Bài 9:

So sánh A và B biết:

A= 163% X 167% B= 165% X 165%

Nhân A và B với 10000

A x 10000 = 163 x 167 = 165 x 163 + 165 + 161 = 165 x 164 + 161

B x 10000 = 165 x 165 = 165 x 164 + 165

Do 161 < 165 nên A x 10000 < B x 10000

Hay: A < B

Bài 10:

Tính tổng : A = 1 + 4 + 9 + 16 + .....+ 100

A = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 100

A = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 10x10

A = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 10x(11-1)

A = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 10x11 – 10

A = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 10x11) – (1+2+3+ … + 10)

A = (10x11x12) : 3 – (1+2+3+ …. +10)

A = 440 – 55

A = 385

Bài 11:

Tính nhanh: B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100

B = 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + .............. + 100 x 100

= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)

= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100

= (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)

= (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)

= 343400 – 5050

B = 338350

Bài 12:

Tính tổng : A = 4 + 16 + 36 + 64 +.....+ 10000

A:4 = 1 + 4 + 9 + 16 + ….. + 2500

A:4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + …… + 50x50

A:4 = 1x(2-1) + 2x(3-1) + 3x(4-1) + …. + 50x(51-1)

A:4 = 1x2 – 1 + 2x3 – 2 + 3x4 – 3 + …… + 50x51 – 50

A:4 = (1x2 + 2x3 + 3x4 + ….. + 50x51) – (1+2+3+ … + 50)

A:4 = (50x51x52) : 3 – (1+2+3+ …. +50)

A:4 = 46 852 – 1275 = 45 577

A = 45 577 x 4

A = 182 380

Bài 13:

Tính M = 1 + 9 + 25 + 49 +...+ 9801

Cộng 2 vế với: 4+16+36+….+10000

M + (4+16+36+….+10000) = 1+4+9+16+25+….+9801+10000

= 1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 100x100

= 1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 100 x (101 – 1)

= 1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 100 x 101 – 100

= (1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 100 x 101) – (1 + 2 + 3 + ................ + 100)

= (100 x 101 x 102) : 3 - (101 x 100 : 2)

= 343400 – 5050

= 338350

M + (4+16+36+….+10000) = 338350

Ta thầy : 4+16+36+….+10000

= 4x(1 + 4 + 9 + …….. + 2500)

= 4x(1x1 + 2x2 + 3x3 + …….. + 50x50)

= 4x(1 x (2 - 1) + 2 x (3 - 1) + 3 x (4 - 1) + .................. + 50 x (51 – 1))

= 4x(1 x 2 – 1 + 2 x 3 – 2 + 3 x 4 – 3 + ..................... + 50 x 51 – 50 )

= 4x[(1 x 2 + 2 x 3 + ............ + 50 x 51) – (1 + 2 + 3 + ................ + 50)]

= 4x[(50 x 51 x 52) : 3 - (50 x 51 : 2)]

= 171700

Vậy: M + 171700 = 338350

M = 338350 – 171700

M = 166 650

Bài 14:

Tính nhanh: (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100)

Xét mẫu số: 1/(2x3) + 1/(3x4) + …… + 1/(99x100)

= 1/1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ......... + 1/99 – 1/100

= (1 + 1/3 + ............ + 1/99) – (1/2 + 1/4 + .......... + 1/100)

= (1 + 1/3 + ............ + 1/99)+(1/2+1/4+1/6+….+1/100) – (1/2+1/4+1/6+ .......... + 1/100)x2

= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ..... + 1/99 + 1/100) – (1 + 1/2 + 1/3 + ....... +1/50 )

= 1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100 (Đơn giản số trừ)

Vậy: (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/1x2 + 1/3x4 + .......... + 1/99x100) =

(1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) / (1/51 + 1/52 + 1/53 + ............. + 1/100) = 1

Bài 15:

Tính nhanh: 1/(1 x2) + 1/ (2 x 3) + 1/ (3 x 4) + ................. + 1/ (2013 x 2014)

Ta thấy:

1/(1x2) = 1 – 1/2

1/(2x3) = 1/2 – 1/3

1/(3x4) = 1/3 – 1/4

……………

Nên: 1/1 x2 + 1/ 2 x 3 + 1/ 3 x 4 + ................. + 1/ 2013 x 2014 =

1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + ........................ + 1/2013 – 1/2014 =

1 – 1/2014 = 2013/2014

Bài 16

Tính A= 1/1x2x3 + 1/2x3x4 + 1/3x4x5 + ... + 1/2013x2014x2015

Nhân 2 vế với 2:

Ax2 = 2/1x2x3 + 2/2x3x4 + 2/3x4x5 + ... + 2/2013x2014x2015

= 1/1x2-1/2x3 +1/2x3 - 1/3x4 + 1/3x4 -1/4x5 + ...+1/2013x2014 - 1/2014x2015

= 1/1x2 - 1/2014x2015 = 4056194 / 8116420

A = 4056194 / 8116420 : 2

A = 2028097 / 8116420

Mở rộng: Mẫu số có tích 4 số tự nhiên liên tiếp như trường hợp sau ta 2 vế với 3. Chú ý là: 3 = 4-1 = 5-2 = 6-2 = ………

A = 1/1x2x3x4 + 1/ 2x3x4x5 + 1/3x4x5x6 + … + 1/27x28x29x30

A x 3 = 3/1x2x3x4 + 3/2x3x4x5 + 3/3x4x5x6 + .......... + 3/27x28x29x30

A x 3 = 1/1x2x3 - 1/2x3x4 + 1/2x3x4 - 1/3x4x5 + 1/3x4x5 - 1/4x5x6 + ........+ 1/27x28x29 - 1/28x29x30

A x 3 = 1/1x2x3 - 1/28x29x30 = 1/6 - 1/24360 = 146154 / 146160

A = 48718 / 146160

Bài 17:

Tính: S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000

S = 1x2-2x3+3x4-4x5+5x6-6x7+...-1998x1999+1999x2000

S = 1x2 +(3x4-2x3)+(5x6-4x5)+(7x8-6x7)+……..+(1999x2000 – 1998x1999)

= 2 + 3x(4-2) + 5x(6-4) + 7x(8-6) + ……… + 1999 x (2000-1998)

= 2 + 3x2 + 5x2 + 7x2 + ……… + 1999x2

= 2 x (1+3+5+7+…..+ 1999)

S = 2 x 1000000 = 2 000 000

Bài 18:

Tính nhanh

8/9 x15/16 x24/25 x 35/36 x ........x 99/100

Ta thấy:

8/9 = (2x4)/(3x3) ; 15/16 = (3x5)/(4x4) ; 24/25 = (4x6)/(5x5) ; …. ; 99/100 = (9x11)/(10x10)

Nên có thể viết lại :

(2x4x3x5x4x6 x5x7x6x8x7x9x8x10x9x11) / (3x3x4x4x5x5x6x6x7x7x8x8x9x9x10x10)

(2 x 11) / (3 x 10) = 22/30 = 11/15

Bài 19:

Tính nhanh:

1x4+2x5+3x6+...+99x102

1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 1x (2+2) + 2x(3+2) + 3x(4+2) + …. + 99x(100+2) =

(1x2+2x3+3x4+ …+99x100) + (2+4+6+…+198) =

Ta thấy: 1x2+2x3+3x4+…+99x100 nhân với 3 thì được

1x2x3+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+…+99x100x(101-98) =

1x2x3+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+….+99x100x101-98x99x100 =

99x100x101 = 999900

Vậy : 1x2+2x3+3x4+…+99x100 = 999900 : 3 = 333300

Còn 2+4+6+…+198 có (198-2) :2+1= 99 (số hạng)

Tổng bằng : (198+2)x99 :2 = 9900

Kết quả :

1x4+2x5+3x6+...+99x102 = 333 300 + 9 900 = 343 200

Bài 20:

Tính nhanh

A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192

Cách 1:

A x 2 = 2 + 4 + 8 + ....................... + 16384

A x 2 – A = 16384 – 1 = 16383

Vậy A = 16383

Cách 2:

Ta thấy: Tổng 3 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 = 3 + 4

Tổng 4 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 + 8 = 7 + 8

Tổng 5 số hạng đầu là:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 15 + 16

Theo quy luật đó ta sẽ tính được kết quả của tổng trên là:

A = 1 + 2 + 4 + 8 + ..................... + 4096 + 8192 = 8191 + 8192 = 16383

Vậy A = 16383

Cách 3:

Nhận xét từ TỔNG 3 số hạng đầu về sau ta được:

1+2+4 = 3+4

1+2+4+8 = 7+8

1+2+4+8+16 = 15+16

………………………

Vậy A = (8192-1)+8192 = 16383