Trang 3_Hình học

Chiều dài hơn chiều rộng: 8 + 5 = 13 (m)

S_OBCK = S_MNOA + 122

=> S_NPCK = S_MNOA + 122 + 8x5

= S_MNOA + 162

Mà NPCK và MNOA có MN = NK (cạnh hình vuông)

và NP hơn NO là : 8 – 5 = 3 (m)

Cạnh hình vuông: 162 : 3 = 54 (m)

Chiều dài hình chữ nhật: 54 + 8 = 62 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật: 54 – 3 = 51 (m)

Diện tích hình chữ nhật: 62 x 51 = 3162 (m²)

Đáp số: 3162 m².

Bài 36:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 8m. Người ta chia mảnh đất làm 2 phần, một phần để làm vườn, một phần để đào ao nuôi cá. Diện tích phần đất làm vườn bằng 1/2 mảnh đất. Chu vi phần đất làm vườn bằng 2/3 chu vi mảnh đất. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật.

Chu vi vườn bằng 2/3 chu vi mảnh đất thì nửa chu vi vườn cũng bằng 2/3 nửa chu vi mảnh đất. Gọi chiều dài miếng đất là a = 8m, chiều rộng là b (b>0 và b<8).

*.Trường hợp 1:

Nếu mỗi cạnh vườn bằng 2/3 cạnh của miếng đất thì chu vi cũng bằng 2/3 chu vi miếng đất nhưng diện tích sẽ bằng 2/3 x 2/3 = 4/9 diện tích miếng đất. (loại)

*.Trường hợp 2:

Cắt 2 miếng đất theo chiều dài để có diện tích bằng ½ diện tích miếng đất thì:

P_đất/2 = 8 + b (P là chu vi)

P_vườn/2 = 8 + b/2

Mà: 8 + b/2 = 2/3 (8 + b) = 16/3 + 2/3b

=> b/6 = 8 – 16/3 = 8/3

=> b = 8/3 x 6 = 16

b=16 > 8 (8m là chiều dài) (loại)

*.Trường hợp 3:

Cắt 2 miếng đất theo chiều rộng thì:

P_đất/2 = 8 + b

P_vườn/2 = 8/2 + b

Mà: 8/2 + b = 2/3 (8 + b) = 16/3 + 2/3b

=> b/3 = 16/3 – 4 = 4/3

=> b = 4/3 x 3 = 4

Diện tích mảnh đất: 8 x 4 = 32 (m²)

Đáp số : 32 (m²)

Bài 37

Cho tam giác ABC.

D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2/3 DC.

M và E là hai điểm trên đoạn thẳng AD sao cho AM = ME = ED.

a) Em hãy tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải thích tại sao ?

b) Kéo dài BE cắt ở AC ở N. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm² .Hãy tính diện tích các tam giác DEC và ABC; rồi so sánh độ dài các đoạn thẳng AN và CN.

a)Các tam giác có diện tích bằng nhau:

BED, BME, BAM (cạnh đáy ED=ME=AM, chung đường cao kẻ từ B)

BAE, BMD (cạnh đáy AE=MC=2AM, chung đường cao kẻ từ B).

b)Hai tam giác EBD và DEC có BD=2/3DC chung đường cao kẻ từ E.

Nên S_EBD = 2/3 S_ECD => S_DEC = 4 : 2 x 3 = 6 (cm²)

*.Theo đề bài ta có AD = ED x 3 (AM=ME=ED)

2 tam giác ABD và EBD có: AD = ED x 3, chung đường cao kẻ từ B.

Nên S_ABD = S_EBD x 3 = 4 x 3 = 12 (cm²)

Mà BD= 2/3 DC hay BD = 2/5 BC

Vậy S_ABC = S_ABD : 2 x 5 = 12 : 2 x 5 = 30 (cm²)

*.S_AEC = S_ABC – S_ABD – S_EDC = 30 – 12 – 6 = 12 (cm²)

Xét 2 tam giác ABE (Dt=4+4=8 cm2) và CBE (Dt= 4+6=10cm2). Có:

Chung đáy BE nên đường cao kẻ từ B và từ C xuống BE có tỉ lệ 8/10 (4/5).

Diện tích AEN = 12 : (4+5) x 4 = 16/3 (cm²)

Diện tích ACN = 12 : (4+5) x 5 = 20/3 (cm²)

2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ E nên 2 đáy tỉ lệ với 2 diện tích

Tỉ lệ của AN và NC là 16/3 : 20/3 = 16/20 = 4/5

Bài 38

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC ;N là trung điểm của AC , Kẻ AM và BN cắt nhau tại O . Chứng minh rằng OA = 2 x OM

Vi Hoang Van

S_ABN = S_CBN (có AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)

Nếu xemNB là cạnh đáy thì 2 đường cao từ A và C xuống NB bằng nhau. Hai đường cao này chính là 2 đường cao của 2 tam giác AOB và COB có chung đáy OB.

Suy ra: S_AOB = S_COB.

Mà S_OBM = S_OMC = ½ S_OBC = ½ S_AOB (CM=MB, chung đường cao từ O).

Suy ra: S_AOB = S_OBM x 2.

2 tam giác AOB và MOB có chung đường cao kẻ từ B. Nên 2 đáy OA và OM tỉ lệ với diện tích.

OA = OM x 2

Bài 39

Tăng độ dài cạnh một hình vuông thêm 4cm thì diện tích hình vuông tăng thêm 664cm². Tìm diện tích hình vuông đó.

Diện tích hình vuông nhỏ ở góc:

4 x 4 = 16 (cm²)

Diện tích 1 hình chữ nhật.

(664 – 16) : 2 = 324 (cm²)

Cạnh hình vuông ban đầu:

324 : 4 = 81 (cm)

Diện tích hình vuông ban đầu:

81 x 81 = 6561 (cm²)

Đap số: 6561 cm².

Bài 40

Cho hình tam giác ABC có diện tích 12 cm², cạnh đáy BC = 6 cm. N là trung điểm cạnh AC. Từ N kẻ song song với BC cắt AB tại M. Tính:

a)Độ dài đoạn thẳng MN.

b)Diện tích hình thang NMBC.

(Tính đường cao từ A của tam giác ABC. Nối NB, dựa vào AN=NC, tính được S_ABN=S_CBN , tính được S_CBN ; tính được đường cao kẻ từ N xuống CB. Suy ra đường cao từ A xuống NM. S_NBC=S_MBC =1/2 S_ABC. => S_AMC=1/2S_ABC (6cm²). S_AMN=S_CMN (6:2=3 (cm²)). Tính được MN là cạnh đáy của tam giác AMN. Hình thang NMBC đã biết được NM; CB và chiều cao nên tính được diện tích.)

Đường cao kẻ từ A xuống BC: 12 x 2 : 6 = 4 (cm)

S_ABN = S_NBC = S_ABC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm²) (AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)

Đường cao kẻ từ N xuống BC: 6 x 2 : 6 = 2 (cm)

Đường cao kẻ từ A xuống NM: 4 – 2 = 2 (cm)

Ta lại có: S_MBC = S_NBC = 6 (cm²) (Chúng đáy BC, bằng đường cao hình thang).

=>S_AMC = S_MBC = 6 (cm²) (12 – 6 = 6 (cm²))

=>S_AMN = S_NMC = 6 : 2 = 3 (cm²)

Cạnh đáy MN của tam giác AMN:

3 x 2 : 2 = 3 (cm)

Diện tích hình thang NMBC:

(6 + 3) x 4 : 2 = 9 (cm²) (hoặc 12 - 3 = 9 (cm²))

Đáp số: 9 cm²

Bài 41

Giảm chiều dài 1 hình chữ nhật 5m tăng chiều rộng lên 5m thì được 1 hình vuông có diện tích lớn hơn diện tích hình chữ nhật 25m².Tìm diện tích hình chữ nhật ban đầu?

Dài hơn rộng: 5 + 5 = 10 (m)

Gọi a dài, b rộng => a = b+10

DT ban đầu

S = a x b = (b+10) x b

= b.b + 10b

DT đã thay đổi:

S_đổi = (a-5) x (b+5)

= (b+5) x (b+5)

= b.b + 5b + 5b + 25

= b.b + 10b + 25

Hiệu diện tích khi đã thay đổi và ban đầu:

(b.b + 10b + 25) – (b.b + 10b) = 25 (m²)

Với mọi a; b ta đều có diện tích sau khi thay đổi số đo như đề bài đều lớn hơn 25 m².

(dùng dấu chấm(.) thay dấu nhân (x) cho dễ nhìn một chút).

Bài 42:

Một hình chữ nhật có chu vi 60m. Nếu giảm chiều dài hình chữ nhật 5m và tăng chiều rộng lên 5m thì được một hình vuông. Tìm diện tích hình chữ nhật?

Lê Dõng

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

60 : 2 = 30 (m)

Chiều dài hơn chiều rộng là:

5 + 5 = 10 (m)

Chiều rộng hình chữ nhật là:

(30 – 10) : 2 = 10 (m)

Chiều dài hình chữ nhật là:

30 – 10 = 20 (m)

Diện tích hình chữ nhật là:

20 x 10 = 200 (m²)

Đáp số: 200 m².

Bài 42:

Cho tam giác ABC có BC = 9 cm. Gọi D là điểm chính giữa cạnh AC, kéo dài cạnh AB một đoạn BE = AB. Nối D với E, đoạn DE cắt đoạn BC tại G

a-So sánh diện tích các tam giác GBE, GBA, GAD, GDC

b.Tính độ dài đoạn BG

Vũ Hương

a) Nối CE.

S_GBE=S_GBA. Vì có AB=BE chung đường cao kẻ từ G.

S_GAD=S_GDC. Vì có CD=DA chung đường cao kẻ từ G.

Ta cũng có:

S_ABC=S_EBC => S_GAC=S_GEC (1)

S_DAE=S_DCE => S_GAE=S_GEC (2)

Từ (1) và (2) ta được: S_GAE=S_GCA

Vậy: S_GBE=S_GBA= S_GAD=S_GDC

b)

Hai tam giác ABC và ABG coa chung đường có kẻ từ A nên 2 cạnh đáy CB và GB sẽ tỉ lệ với diện tích.

Từ kết quả câu a.

Suy ra: S_ABC = S_AGB x 3

Vậy: CB = GB x 3

GB = 9 : 3 = 3 (cm)

Bài 43:

Tý có một tấm bìa hình vuông, tý cắt tấm bìa thành hai hình chữ nhật không bằng nhau, chu vi của hai hình chữ nhật là 150cm. Tính diện tích tấm bìa hình vuông

Nguyễn Thị Ha

Chu vi 2 hình chữ nhật bằng 6 lần cạnh hình vuông.

Cạnh hình vuông: 150 : 6 = 25 (cm)

Diện tích tấm bìa: 25 x 25 = 625 (cm²)

Đáp số: 625 cm²

Bài 44:

Cho hình tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho BE gấp đôi AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD gấp đôi AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.

Ta có DC=AD x 2

Nên S_DCE= 5 x 2 = 10 (cm²) (đáy DC=2AD và chung đường cao kẻ từ A).

S_ACE = 5 + 10 = 15 (cm²)

Ta lại có EB = EA x 2

Nên S_ECB = S_ACE x 2 = 15 x 2 = 30 (cm²)

S_BCDE = S_DEC+ S_ECB = 10 + 30 = 40 (cm²)

Bài 45:

Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 2/3 AB, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1/3 AC

a. Nối B với D . Tính tỷ số diện tích hai tam giác ABD và ABC

b. Nối E với D .Biết diện tích tam giác AED là 8 cm² . Tính diện tích tam giác ABC

c. Nối C với E cắt BD tại G. Tính tỷ số độ dài hai đoạn thẳng EG và CG

a).Do AD = 1/3 AC nên S_ABD = 1/3S_ABC.

Vì 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ B

b).Tương tự ta có S_AED= 1/3S_AEC

Nên S_AEC = 8 x 3 = 24 (cm²)

Mà AE = 2/3AB và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.

Nên S_AEC = 2/3S_ABC

Diện tích tam giác ABC: 24 : 2 x 3 = 36 (cm²)

c).

S_EBD= 1/3 S_ABD = 1/3.1/3S_ABC = 4 (cm²)

S_EBC = 12 (cm²) ……………………….(1/3 của S_ABC)

S_DEC = 2/3.24 = 16 (cm²) …………….(2/3 của S_AEC)

2 tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích.

Tỉ số: Bh/Dk = 12/16 = 3/4

Tương tự ta có: S_EBG / S_DEG = 3/4

Suy ra S_DEG = 4 : (4+3) x 4 = 16/7 (cm²)

S_DCG = S_DEC – S_DEG = 16 – 16/7 = 96/7 (cm²)

Tỉ số của EG và CG là tỉ số của S_DEG và S_DCG

(16/7) / (96/7) = 16/96 = 1/6

Bài 47:

Cho tam giác ABC điểm N nằm trên AC điểm M nằm trên BC sao cho AM cắt BN tại O diện tích các tam giác ANO = 2cm2 , ABO = 6cm2 , BMO = 4cm2 Tính diện tích tam giác ABC?

S_ABO = 3S_AON ( vì 6:2=3) ==> BO = 3ON (chung đường cao kẻ từ A).

==> S_OMN = 1/3S_OBM = 1/3 x 4 = 4/3 (cm²) (chung đường cao kẻ từ M)

Xét 2 tam giác ABN và AMN có chung đáy AN nên Bk và Mh tỉ lệ với diện tích.

Bk/Mh = (6+2)/(2+4/3) = 8/(10/3) = 24/10

Hai tam giác ABC và AMC có chung đáy AC nên diện tích tỉ lệ với đường cao.

S_ABC/S_AMC = 24/10 |

S_ABC - S_AMC = S_ABM = 6+4 = 10 (cm²) | Hiệu và Tỉ

Hiệu số phần bằng nhau: 24 - 10 = 14 (phần)

Diện tích tam giác ABC: 10:14x24 = 17,14286 (cm²)

Bài 48:

Có một miếng đất hình thang. Hùng ước lượng đáy lớn bằng 32m, Dũng ước lượng đáy lớn bằng 37m và cả hai đều ước lượng sai. Nếu ước lượng như Hùng thì diện tích miếng đất giảm 36m², còn nếu ước lượng như Dũng thì tăng 24m². Hỏi đáy lớn của miếng đất dài bao nhiêu m?

(Ai TM hơn HS L5)

Ước lượng về đáy lớn ở hai bạn lệch nhau: 37 - 32 = 5 (m)

Từ sai lêch về đấy lớn giữa hai bạn nên diện tích cũng lệch theo: 36 + 24 = 60 (m²)

Chiều cao hình thang: 60 x 2 : 5 = 24 (m)

Theo Hùng thì đáy lớn còn thiếu: 36 x 2 : 24 = 3 (m)

Độ dài của đáy lớn miếng đât: 32 + 3 = 35 (m)

Đáp số: 35m

Bài 49:

Cho tam giác ABC .Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 1/3 AB.Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng 1/3 AC.Nối B với N, nối C với M; BN cắt CM tại I.

Tính diện tícg tam giác ABC, biết diện tích tứ giác AMIN bằng 90cm2.

Nửa chu vi hình ABCD hơn nửa chu vi hình AMND là : 28 : 2 = 14 (m).

Nửa chu vi hình ABCD là AD + AB.

Nửa chu vi hình AMND là AD + AM.

Do đó : MB = AB - AM = 14 (m).

Chiều rộng BC của hình ABCD là : 224 : 14 = 16 (m)

Chiều dài AB của hình ABCD là : 16 + 14 = 30 (m)

Diện tích hình ABCD là : 30 x 16 = 480 (m²).

Đáp số: 480 m².

Bài 54:

Cho hình thang ABCD, có BC=5cm. Trên BC lấy 1 điểm E sao cho BE = 1cm. Tính tỷ số độ dài hai cạnh đáy CD và AB, biết diện tích của tam giác ABE bang 1/6 diện tích tư giác AECD.

* Ta có: S_ABE = 1/4 S_ACE (Đáy BE = 1/4 đáy CE; Chiều cao đỉnh A chung).

Để S_ABE = 1/6 S_ADCE. Nếu coi S_ABE bằng 1 phần diện tích thì S_ADC = 2 phần diện tích.

=> S_ABC = 5 phần diện tích.

=> S_ADC = 2/5 S_ABC

Hai tam giác này có chiều cao bằng nhau nên đáy DC = 2/5 AB

Đáp số: CD = 2/5 AB

Bài 55:

Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4 lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều rộng của hình chữ nhật mới.

Theo đề bài ta có sơ đồ :

Do đó 45 m ứng với số phần là :

16 - 1 = 15 (phần)

Chiều rộng ban đầu là :

45 : 15 = 3 (m)

Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là : 3 x 12 = 36 (m²)

Đáp số: 36 m².