¿Por qué la masa aumenta con la velocidad?

En el nivel más fundamental, todo lo que nos rodea está compuesto por distintos tipos de energía que se transforman unos en otros constantemente. Por otro lado, también vimos que la masa es una propiedad que cuantifica la resistencia al movimiento que ofrece un objeto o, lo que es lo mismo, su inercia. Por tanto, uniendo los dos conceptos, la masa (la resistencia al movimiento) es una propiedad que refleja la cantidad de energía que compone un objeto y se manifiesta a través de su inercia. Dicho de otra manera, la energía tiene inercia.

A algunos lectores les confundió un poco esta idea. Y me parece normal, porque, al fin y al cabo, ¿cómo puede ser que todo este material tan «sólido» que nos rodea esté compuesto sólo de energía? ¿Qué se supone que significa eso? ¿No debería existir algún «objeto» rígido fundamental que le da solidez a la materia?

Creo que esta otra entrada en la que hablaba del «aspecto» de las partículas puede ayudar a aclarar un poco la confusión. En ella mencionaba la teoría cuántica de campos, un modelo con una gran capacidad predictiva que asume que las partículas fundamentales son perturbaciones en diferentes campos que permean el universo, en lugar de bolitas con un volumen determinado. Creo que este modelo es un buen ejemplo que sirve para ilustrar cómo unos bloques fundamentales que no son «sólidos» pueden dar lugar a la realidad tangible que nos rodea.

Representación de una de estas perturbaciones. En este otro enlace tenéis una animación tridimensional más fiel al fenómeno real. (Fuente de la imagen)

Dicho esto, pasemos al tema que nos ocupa hoy.

Me gustaría saber por qué la masa de un objeto aumenta a medida que incrementa su velocidad y de dónde sale esa masa que se suma.

¿Cómo que la masa aumenta con la velocidad? ¿Ahora resultará que salir a correr engorda?

Para nada. El fenómeno al que se refiere es una de esas consecuencias poco intuitivas de la teoría de la relatividad que sólo se manifiestan cuando algo se mueve a una fracción considerable de la velocidad de la luz, mucho más rápido de lo que cualquiera puede correr. Eso sí: la frase «la masa de un objeto aumenta con su velocidad» puede dar una idea equivocada de lo que ocurre en realidad.

Me explico.

En la última entrada estuve hablando de la famosa ecuación E = mc2 que, en resumidas cuentas, refleja que la energía contenida en un objeto equivale a su masa, multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado. Como la velocidad de la luz es una cifra inmensa (ronda los 300.000 km/s) esta ecuación sugiere que hasta los objetos más pequeños encierran en su interior cantidades enormes de energía.

Pero también comenté que, originalmente, Einstein había escrito la ecuación «al revés», colocando la masa en función de la energía:

Este matiz es importante porque demuestra que Einstein no intentaba reflejar la enorme cantidad de energía que hay contenida en un sistema que tiene una masa concreta, sino señalar que la masa de un objeto (o su inercia) es una manifestación directa de la cantidad de energía que lo compone, que es el concepto que conviene tener presente durante la entrada de hoy.

Hasta ahí todo bien, pero, además, también hay que tener en cuenta que la versión de la fórmula de Einstein que todo el mundo conoce está incompleta. La verdadera forma de la famosa ecuación es esta:

En esta ecuación, el término pc representa el momento del objeto (o, lo que es lo mismo, el producto de su masa por la velocidad a la que se desplaza), multiplicado por la velocidad de la luz. De hecho, la versión de esta ecuación que todos conocemos (E = mc2) representa la energía que posee un objeto cuando está quieto (cuando v = 0 y, por tanto, pc = 0, así que E = mc2 + 0).

El caso es que la ecuación completa de Einstein nos dice que la energía total de un objeto equivale a la energía que tiene cuando está quieto (mc), más la energía cinética que gana cuando empieza a moverse (pc). Por tanto, un objeto que se mueva muy rápido tendrá más energía que otro objeto idéntico, pero que está en reposo.

Energía de un objeto = energía en reposo + energía cinética derivada de su movimiento

¡Aaaah, vale! Y como la masa y la energía son dos conceptos equivalentes, el objeto que se está moviendo más rápido tendrá más masa que el que está quieto, ¿no?

Sí, pero conviene aclarar un matiz.

En primer lugar, ya he comentado que la masa es la propiedad que determina cuánta resistencia ofrece un cuerpo a ser acelerado. Para ilustrar este concepto, imaginemos que estamos flotando en medio del vacío, intentando que una caja que está quieta alcance una velocidad determinada. Pese a que en esta situación no hay ninguna fuerza externa actuando sobre ella (como la fricción o la gravedad) la caja ofrecería cierta resistencia a nuestros empujones, precisamente porque la inercia de su propia masa (o, mejor dicho, de su energía) se opondría al movimiento.

Ahora bien, como dicta la ecuación de Einstein, si la misma caja se está moviendo por el vacío, su energía total aumenta, porque adquiere una cierta cantidad energía cinética que se añade a su energía propia. Y, como esa energía cinética adicional tiene asociada una inercia, el esfuerzo necesario para acelerar la caja cuando está moviéndose será mayor que cuando está en reposo.

Por tanto, como la masa es una medida de la inercia de un cuerpo, que la masa de un objeto aumente con la velocidad simplemente significa que, a medida que un objeto acelera, su inercia crece y cada vez se necesita más energía para acelerarlo hasta una velocidad aún mayor. O sea, que esta frase no intenta decir que la cantidad de material que compone un objeto aumente mientras acelera, ni nada por el estilo. Lo único que pasa es que, cuanto más rápido se mueve, más aumenta su energía y, por tanto, su inercia.

Vamos a poner cifras al asunto para ilustrar este fenómeno.

Tomemos la misma caja que está quieta en el vacío e imaginemos que le damos dos empujones consecutivos con la misma energía, aproximadamente unos 136.000 millones de megajulios (MJ). Tras el primer empujón, la caja, que estaba quieta, acelera hasta los 225.000 km/s. Pero, en cambio, el segundo empujón sólo la acelera desde los 225.000 km/s hasta los 283.000 km/s, lo que supone un incremento de velocidad de sólo 58.000 km/s. ¿Por qué este segundo empujón tiene un efecto menor, si la caja es la misma?

La diferencia es que la inercia de la caja es mucho mayor cuando se desplaza a 225.000 km/s que cuando está en reposo y, por tanto, su resistencia al movimiento es mucho más alta. Un 51% mayor, para ser más concretos. Por tanto, aunque la caja sea la misma, su inercia ha aumentado mucho cuando le queremos dar el segundo empujón. De hecho, cuando la caja alcanza su velocidad final de 283.000 km/s tras el segundo empujón, su inercia es un 94% mayor respecto a cuando estaba en reposo. En cualquier caso, el segundo empujón es mucho menos efectivo que el primero porque, por el mero hecho de estar moviéndose a gran velocidad, la caja ofrece una resistencia al movimiento mucho mayor.

Ahora bien, como había comentado, estos efectos sólo se manifiestan cuando las cosas se mueven a velocidades cercanas a la de la luz, así que no los percibimos en nuestro día a día. Por ejemplo, la masa de un coche que se mueve a 120 km/h sólo aumenta un 0,00000000000005% respecto a cuando está en reposo. De hecho, ni siquiera los vehículos más rápidos creados por el ser humano experimentan efectos relativistas perceptibles para nuestros sentidos. Por ejemplo, la Estación Espacial Internacional da vueltas alrededor de la Tierra a 7 kilómetros por segundo y, aun así, su masa es sólo un 0,0000000027% mayor que si estuviera quieta.

Eso sí, hay que tener en cuenta que la magnitud de esos efectos va creciendo de manera exponencial a medida que la velocidad de un objeto se aproxima cada vez más a la de la luz. Por ejemplo, a la mitad de la velocidad de la luz (0,5c), la masa de un objeto sólo aumenta alrededor de un 15%, pero, a tres cuartos de esa velocidad (0,75c), su masa habrá aumentado un 51% en total. Cuanto más nos acercamos a la velocidad de la luz, más rápido se produce este incremento: un objeto que se desplaza a 0,99c tendrá una masa 7 veces mayor que en reposo, 20 veces mayor si alcanza 0,999c, 1000 veces mayor a los 0,9999c… Y, bueno, mejor os dejo un gráfico que muestra la progresión.

En este caso, un campo magnético se encarga de dirigir los electrones hacia la zona concreta de la pantalla contra la que deben impactar, pero, debido a los efectos relativistas, estas partículas se mueven lo bastante rápido como para que su masa aumente un 0,5% respecto a cuando están quietos. Por tanto, los circuitos que producen el campo magnético de estas televisiones tienen que estar ajustados para poder compensar este fenómeno ya que, al tener un poco más de inercia, se necesita más energía para desviar los electrones hacia el lugar que les toca.

Como podéis ver, la cantidad de energía que se necesita acelerar un cuerpo hasta la velocidad de la luz tiende al infinito cuanto más se acerca a ella. Este es el motivo por el que ningún objeto puede alcanzar la velocidad de la luz propiamente dicha: porque se necesitaría una cantidad de energía infinita.

Vale, creo que lo he captado. Pero, de todas maneras, ¿todo esto de que la masa aumenta con la velocidad se ha llegado a observar alguna vez? ¿O es algún tipo de fenómeno teórico que nadie ha comprobado?

Vaya, pues si se ha llegado a observar. Por ejemplo, en el LHC se aceleran partículas hasta velocidades muy cercanas a las de la luz, hasta el punto de que los protones que recorren este acelerador de partículas alcanzan una masa 7460 veces superior a la que tienen en reposo… O, mejor, dicho, una energía.

Pero un ejemplo más cotidiano es el de las difuntas teles de tubo, que funcionan disparando un chorro de electrones contra la pantalla para iluminar cada píxel individual.

En este caso, un campo magnético se encarga de dirigir los electrones hacia la zona concreta de la pantalla contra la que deben impactar, pero, debido a los efectos relativistas, estas partículas se mueven lo bastante rápido como para que su masa aumente un 0,5% respecto a cuando están quietos. Por tanto, los circuitos que producen el campo magnético de estas televisiones tienen que estar ajustados para poder compensar este fenómeno ya que, al tener un poco más de inercia, se necesita más energía para desviar los electrones hacia el lugar que les toca.

La segunda ley de Newton establece que la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a la masa del objeto. Cuanto mayor sea la masa de un objeto, menor será su aceleración si se le aplica una fuerza neta dada. A veces se llama masa inercial, para enfatizar que mide la inercia, esto es, la resistencia a alterar el estado de movimiento o reposo del objeto. En otras palabras, la masa es una propiedad de los objetos que se opone a la aceleración cuando se aplica una fuerza. Todo esto se reúne en una expresión tan simple como F = m·a., donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto, m es la masa (inercial) y a la aceleración resultante.

A partir de la segunda ley de Newton podemos afirmar que una fuerza constante producirá una aceleración constante. Por tanto, si una vez que un objeto se está moviendo, se le continúa empujando con la misma fuerza, seguirá acelerándose, yendo más y más rápido. Y, según la fórmula de Newton, no existe límite a la velocidad que puede alcanzar.

Pero esto es inconsistente con la teoría de la relatividad, que impone un límite de velocidad para objetos en el espacio de c = 299.792.458 m/s, la velocidad de la luz en el vacío. Hay que alterar pues la expresión de la segunda ley de Newton para que tenga en cuenta este hecho.

Einstein lo hizo afirmando que m, la masa inercial, no permanece constante sino que aumenta a medida que aumenta la velocidad, un hecho que se observa experimentalmente, por ejemplo, en partículas elementales a alta velocidad.

Si la masa inercial aumenta con la velocidad eso quiere decir que se requiere cada vez más fuerza para conseguir la misma aceleración, y finalmente haría falta una fuerza infinita para intentar alcanzar la velocidad de la luz. Einstein dedujo de los dos postulados de la teoría de la invariancia que la inercia de un objeto en movimiento aumenta con la velocidad, y lo hace de forma completamente análoga a la que empleó para la dilatación del tiempo. Como cabía esperar, llega a una expresión equivalente a la que encontró para el tiempo: mm = me/√(1-v2/c2), donde mm es la masa del objeto en movimiento relativo, y me es la masa del mismo objeto antes de que empiece a moverse, estático. Muy a menudo a me se la llama masa en reposo. [1]

De forma similar a nuestro análisis de la expresión para los intervalos de tiempo, encontramos que, a medida que aumenta la velocidad de un objeto, la masa observada a partir de un marco de referencia estacionario también aumenta. Alcanzará una masa infinita (o indefinida) si alcanza la velocidad de la luz. Esta es otra razón por la cual no puede hacerse que algo que posea masa alcance la velocidad de la luz; requeriría, como decíamos antes, aplicar una fuerza infinita para acelerarla a esa velocidad.

Por el mismo argumento, los objetos que sí se mueven a la velocidad de la luz, como la luz misma, deben tener masa en reposo cero. Siguiendo el resultado de Einstein de que la masa de un objeto aumenta cuando está en movimiento en relación con un observador estacionario, la ecuación de Newton que relaciona la fuerza y la aceleración puede escribirse como una ley más general de la sigiente forma: 

                     F = me·a /√(1- v2/c2) 

Démonos cuenta de que para velocidades muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, como las de nuestro mundo ordinario, esta fórmula se convierte de forma continua en F = m·a. De nuevo vemos que la física de Einstein no es una ruptura con la de Newton, sino una continuación de la misma.

Nota:

[1] Aquí estamos haciendo una simplificación en aras de mantener la línea argumental sencilla. En realidad la masa es invariante, es decir, como los observadores en todos los marcos inerciales observarán la misma energía y la velocidad de la luz c es constante, observan el mismo valor para lo que estamos llamando «masa en reposo». Para explicar esto en detalle tendríamos que recurrir al concepto de espaciotiempo y la equivalencia entre masa y energía, cosas que tocaremos pero muy simplificadamente. Baste decir, para acallar a los físicos lectores, que somos conscientes de que la magnitud del cuadrivector de energía-momento invariante es la energía en reposo de la masa m.