Embedded Files
Hvis man skal finde sandsynligheder i symmetriske sandsynlighedsfelter, skal man bare udregne antal af muligheder. Vi ser her en række eksempler på anvendelse af tællemetoderne fra afsnit 3.
Eksempel.
En spejderflok vil indsamle penge til en lejrtur. De laver et lotteri, hvor der er 500 lodder og der er gevinst på 25 af dem. En person køber tre lodder. Vi vil udregne gevinstchancerne for denne person.
Antallet af måder, hvor man kan udvælge tre lodder fra de 500, udregnes som (se her hvordan du kan bruge GeoGebra til at finde antal måder)
Antal mulige = K(500,3) = 20 708 500
Først vil vi se på sandsynligheden for ikke at få gevinst. Så skal alle de tre lodder vælges bladt de 475 lodder, der ikke giver gevinst. Antal måder det kan gøres på er:
Antal gode = K((475,3) = 17 749 325
Sandsynligheden er derfor:
Antal gode / Antal mulige = 17 749 325/20 708 500 = 0,857 = 85,7%
Dernæst vil vi se på chancen for at få én gevinst. Her skal det ene lod vælges blandt de 25 gevinstlodder. Det kan gøres på 25 måder. De to andre skal vælges blandt de 475 lodder uden gevinst. Det kan ske på K(475,2) måder. Derfor er antallet af lodder, der giver én gevinst:
Antal gode = 25 · K(475,2) = 25 · 112 575 = 2 814 375
Sandsynligheder for én gevinst er derfor
Antal gode / Antal mulige = 2 814 375/20 708 500 = 0,136 = 13,6%
Sandsynligheden for at få to gevinster finder ved at tælle antal muligheder for at trække to af de 25 gevinstlodder og en af de 475 lodder uden gevinst.
Antal gode = K(25,2) · 475 = 300 · 475 = 142 500
Og sandsynligheden udregnes til:
Antal gode / Antal mulige = 142 500/20 708 500 = 0,00688 = 0,69%
Endelig kan de ske, at der er gevinst på alle tre lodder. Så skal alle tre lodder trækkes fra de 25 med gevinst. Antal muligheder er:
Antal gode = K(25,3) = 2 300
Derfor er sandsynligheden:
Antal gode / Antal mulige = 2 300/20 708 500 = 0,00011 = 0,01%
Vi kan opstille vores sandsynligheder i et skema:
Læg mærke til, at alle de fire sandsynligheder tilsammen udgør 100%.
Eksempel
En lærer for en klasse på 12 drenge og 16 piger vælger to elever til at være med til at planlægge en studietur. Det viser sig at han vælger to piger, hvorefter drengene brokker sig over, at han ikke har valgt drenge til gruppen. Er drengenes brok rimelig?
Antallet af måder, man kan vælge 2 elever ud fra de 28 i klassen er: K(28,2) = 378.
Hvis der skal være 2 piger, skal de jo vælges blandt de 16 piger, og det kan gøres på K(16,2) = 120 måder.
Hvis der skal vælges en pige og en dreng kan de gøres på 16 · 12 = 192 måder
Og skal der vælges to drenge, kan det gøres på K(12,2) = 66 måder.
Vi kan nu finde ud af, hvor stor sandsynligheden for udvælgelsen af de to elever er, hvis den har været tilfældig:
På denne måde ville gruppen bestå af to piger i 31,7% af tilfældene, hvis man valgte tilfældigt. Da dette vil ske rimeligt tit, er der ingen grund til at tro, at læreren bevidst har valgt piger til gruppen.
Eksempel - LOTTO
For at spille Lotto skal du på din Lottokupon udvælge 7 tal mellem 1 og 36. Ved trækningen er der 36 kugler i en lufttæt beholder. Kuglerne blandes i beholderen og så udtrækkes helt tilfældigt 7 af kuglerne. De er de syv vindertal. Efter de syv kugler er trukket, udtrækkes et tillægstal. Du får gevinst, hvis du har gættet:
de 7 vindertal.
6 af vindertallene og tillægstallet
6 af vindertallene.
5 rigtige af vindertallene
4 rigtige af vindertallene
For at finde chancerne for de forskellige gevinster skal vi udregne antallet at mulige Lottokuponer of antallet der vider de forskellige gevinster.
Antallet af mulige Lottokuponer er:
Antal mulige = K(36,7) = 8 347 680
At vinde den store gevinst, nemlig at gætte alle 7 vindertal, kan kun ske på én måde. Derfor er chancen:
1 / 8 347 680 = 0,000000119 = 0,000012%
Hvis man skal vinde 6 vindertal og et tillægstal, skal de 6 tal vælges blandt de 7 udtrukne. Det kan gøres på K(7,6) og tillægstallet kan kun vælges på en måde.
Derfor er antal gode = K(7,6) · 1 = 7
Chancen er: Antal gode/Antal mulige = 7 / 8 347 680 = 0,00000084 = 0,000084%
Ved tredje gevinstchance skal der vælges 6 tal blandt de 7 vindertal og et tal blandt de 29 tal, der ikke er udtrukket.
Antal gode er K(7,6) · 29 = 7 · 29 = 203
Chancen er derfor: Antal gode/Antal mulige = 203 / 8 347 680 = 0,00002432 = 0,0024%
At få 5 rigtige betyder, at der skal vælges 5 tal fra de 7 vindertal og 2 fra de 29 tal, der ikke er udtrukket. Derfor er
Antal gode = K(7,5) · K(29,2) = 21 · 406 = 8 526
Chancen er derfor: Antal gode/Antal mulige = 8 526 / 8 347 680 = 0,001021 = 0,1%
Endelig kan du få fire rigtige ved at der er valgt 4 af de udtrukne tal på K(7,4) måder og 3 fra de ikke-udtrukne tal på K(29,3) måder.
Antal gode = K(7,4) · K(29,3) = 35 · 3654 = 127 890
Chancen er derfor: Antal gode/Antal mulige = 127 890 / 8 347 680 = 0,01532 = 1,53%
Report abuse