Monotoniforhold

At bestemme monotoniforhold for en funktion vil sige at undersøge, hvornår funktionen er voksende og aftagende.

Funktionen er voksende, hvis større x-værdier giver større y-værdier. Med andre ord betyder det, at når du bevæger dig i x-aksens retning mod højre, så vil grafpunktet bevæge sig opad. Aftegende betyder, at større x-værdier giver mindre y-værdier. Altså betyder det, at når du bevæger sig mod højre i koordinatsystemet, vil grafpunktet bevæge sig nedad. På figuren er funktionen først voksende for x-værdier op til 0, Mellem 0 og 2 er funktionen aftagende, og den er så igen voksende for x større end 2.

Dette angives som monotoniintervaller:

I intervallet ] – ∞ ‚ 0] er f voksende

I intervallet [ 0 ; 2 ] er f aftagende

I intervallet [ 2 ; ∞ [ er f voksende

Et interval er en sammenhængende del af talaksen, og vi angiver venstre og højre endepunkt. Tegnet ∞ betyder uendeligt. Det angiver, at intervallet ikke slutter et bestemt sted.

Du kan læse mere om intervaller her.

Vendepunkterne, hvor grafen skifter fra voksende til aftagende og fra aftagende til voksende, kaldes ekstrema. Ekstrema betyder yderpunkter: et punkt, hvor grafen er højest oppe i et interval kaldes lokalt maksimum, et punkt der er lavest i et interval kaldes lokalt minimum.

Ekstrema

Ordet ekstrema er en fællesbetegnelse for minimum og maksimum.

Et maksimum er et sted på grafen, hvor funktionsværdien (y-værdien) er størst, og et minimum er et sted på grafen, hvor funktionsværdien (y-værdien) er mindst. Grafisk er et maksimum en 'top' på grafen, mens et minimum er en 'bund' på grafen.

Man skelner mellem to former for maksimum og minimum: De kan enten være globale eller lokale.

Et globalt ekstremum er det sted på grafen, hvor funktionsværdien er allerstørst eller allermindst. Et lokalt ekstremum behøver ikke være det største/mindste på hele grafen, det skal bare være det største/mindste i grafens lokalområde. Dvs. der må ikke være mere ekstreme områder i den umiddelbare nærhed.

De globale ekstrema er vist på følgende figur:

De lokale ekstrema er vist på følgende figur:

De lokale minima og maksima kaldes under ét for lokale ekstrema.

Report abuse