Beregninger i den retvinklede trekant

Nu kan vi knytte vores viden om ensvinklede trekanter og cosinus og sinus sammen. Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, kan vi indlægge den i et koordinatsystem med vinkel A i punktet (0,0) og siden b ud langs x-aksen.

Når vi så indtegner enhedscirklen, så ser vi, at der fremkommer en lille retvinklet trekant AB'C' inde i enhedscirklen.

Herved har vi opnået to ensvinklede trekanter, for de har jo vinkel A til fælles, og så er de begge retvinklede. Derfor må B og B' så også være ens.

Sidelængderne i den lille trekant AB'C' kender vi. Da den ligger i en enhedscirkel, og c' er radius i enhedscirklen, vil:

c' = 1.

Punktet B' er retningspunkt for vinkel A, og det har derfor koordinaterne

(cos(A) , sin(A)).

Derfor kan vi slutte, at:

b' = cos(A)

a' = sin(A)

Skalafaktoren for de to retvinklede trekanter kan beregnes ud fra sidelængderne c og c' . Den bliver:

Derfor får vi:

b = k · b' = c · cos(A)

a = k · a' = c · sin(A)

I den interaktive figur herunder kan du ændre på vinklen ved at trække i punktet B'. Du kan ændre på skalafaktoren ved at trække i skyderen.

Den vandrette katete i den lille (røde) trekant har længden cos(A)

Den vandrette katete i den store (brune) trekant er c gange længere, altså c·cos(A)

Den lodrette katete i den lille (røde) trekant har længden sin(A)

Den lodrette katete i den store (brune) trekant er c gange længere, altså c·sin(A)

De to formler

b = k · b' = c · cos(A)

a = k · a' = c · sin(A)

kan omformes ved division med c på begge sider af lighedstegnet til:

Beregning af sidelængder 1

Beregning af sidelængder 2

Beregning af vinkler.

Generel udgave af de trigonometriske formler

Nu er det jo ikke altid, at trekanterne hedder ABC. Derfor kan det være en fordel at formulere de trigonometriske formler uden brug af bogstavsymboler.

Hvis vi ser på en retvinklet trekant ABC med C = 90^o, kaldes siden c for hypotenusen. Siderne a og b, som danner den rette vinkel, kaldes for kateter. Særligt kaldes siden b for vinkel A’s hosliggende katete, og siden a for vinkel A’s modstående katete.

Med disse betegnelser kan de trigonometriske formler angives således:

"hosliggende katete" = "hypotenusen" · cos(v)

"modstående katete" = "hypotenusen" · sin(v)

Eller:

På figuren ses trekant FHL, hvor H = 90^o. Med udgangspunkt i vinkel F er siden f vinkel F’s modstående katete, siden l er vinkel F’s hosliggende katete og h er hypotenusen.

Derfor kan formlerne i denne trekant skrives:

l = h · cos(F)

f = h · sin(F)

Man kunne også opskrive formlerne med udgangspunkt i vinkel L. Så vil de se sådan ud:

f = h · cos(L)

l = h · sin(L)

Tangens

Ud fra sinus og cosinus defineret man en anden funktion, nemlig tangens