5 Symmetrisk sandsynlighedsfelt (ca. 4 sider)

Et sandsynlighedsfelt består generelt af to dele: udfaldsrummet og sandsynlighederne.

Udfaldsrummet er mængden af mulige udfald i det givne eksperiment.

Hvis man kaster en almindelig, 6-sidet terning vil udfaldsrummet være: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Da alle seks mulige udfald forekommer lige mange gange, hvis terningen er symmetrisk, så vil hvert muligt udfald have sandsynligheden:

${\textstyle{1 \over 6}} = 0,167 = 16,7\%$

En hændelse er en delmængde i udfaldsrummet. Dvs. at en hændelse er et eller flere af resultaterne i udfaldsrummet. Et eksempler på en hændelse kunne være: Det bliver en sekser: {6} eller det bliver et lige tal: {2, 4, 6}

Sandsynligheden er sandsynligheden for hvert af udfaldene i udfaldsrummet. Summen af alle udfaldenes sandsynligheder er 100% (eller 1,00).

Man kan beregne sandsynligheden for et udfald i et symmetrisk sandsynlighedsfelt på følgende måde:

$Sandsynlighed = \frac{{Anta{l_{gode}}}}{{Anta{l_{mulige}}}}$

Beregning af sandsynligheder i symmetrisk sandsynlighedsfelter

Sandsynligheden P for en hændelse med n udfald kan beregnes som:

$P(n) = \frac{n}{N}$

n: antal ”gode” udfald, udfaldene i hændelsen – dvs. de udfald, vi gerne vil have som resultat (de ønskede udfald)

N: antal mulige udfald – dvs. alle de forskellige udfald, der kan blive resultatet af eksperimentet

Kigger vi på det tilsvarende eksperiment med en 8-sidet terning, vil udfaldsrummet være antallet af øjne terningen kan vise altså: 1,2,3,4,5,6,7 og 8. Der er altså 8 mulige udfald.

Vi kan altså beregne sandsynligheden for hvert af udfaldene ved formlen.

$P = \frac{1}{8}$

Sandsynligheden for at terningen viser 3 er:

$P = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Sandsynligheden for at terningen viser et ulige antal øjne er:

Kast med to terninger

I det populære spil Settlers of Catan slår man med 2 terninger. Afhængig af summen af terningernes udfald tildeles spillerne vigtige råstoffer som de skal bruge til at bygge veje og byer for til sidst at vinde herredømmet over øen. Hvis tallet 12 ligger på et stenbrud og summen af terningernes øjne bliver 12 tildeles de spillere med huse og byer grænsende op til stenbruddet råstoffet 'sten'.

Det afgørende i spillet er altså (udover strategi) summen af terningernes øjne. Det er derfor relevant at se på sandsynligheden for summen af terningens øjne – det er nemlig ikke lige sandsynligt at få 2 og 7. Men hvorfor ikke?

Ved summen af to terninger får man en ujævn sandsynlighed. Dette ses tydeligt, når man kigger på en oversigt over sandsynlighedsrummet. Det indses også let ved at slå to terninger mange gange og skrive summen ned hver gang.

Udfaldsrummet for summen af de 2 terninger er: {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} og kan ses i skemaet. Her har vi for overblikkets skyld kaldt den ene terning for ”rød terning” og den anden for ”blå terning”:

Det fremgår tydeligt af oversigten at antallet af udfald er 6 · 6 = 36.

$\frac{1}{{36}}$

Nu kan vi beregne den teoretiske sandsynlighed for hvert af udfaldene: Da summen ”2” findes én gang i skemaet, er sandsynligheden for at få summen ”2” altså 1 ud af 36 eller .

$\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$

Men at få summen 7 kan ske på 6 måder og sandsynligheden for dette er derfor . Herunder ses udregningen af alle sandsynlighederne ved kast med to terninger.

Udfald

Antal muligheder for at få udfaldet