Vækstegenskaber for eksponentiel vækst

Lad os betragte en tabel for x og y i en eksponentiel vækst:

Lad os gøre x-værdien ∆x større, så den bliver x₂ = x₁ + ∆x. Den tilsvarende y-værdi kan nu bestemmes ved hjælp af regneforskriften:

Ved at bruge potensregnereglen for et produkt kan udtrykket omskrives til:

Med andre ord kan dette udtrykkes således: Hvis vi giver x-værdien den absolutte tilvækst ∆x, så bliver den tilsvarende y-værdi ganget med tallet a^∆x. Det betyder: Hvis du lægger ∆x til x-værdien, skal du gange y-værdien med a^∆x .

Dette er formuleret i denne sætning:

Regneforskrift for eksponentiel vækst

Resultatet fra forrige afsnit kan udnyttes til at finde en regneforskrift for en funktion, som er eksponentielt voksende. Lad os se på et eksempel.

Vi antager, at prisen på mælk i en periode har været eksponentielt voksende. I 2002 var prisen 6,50 kr. for 1L letmælk, mens den i 2006 er steget til 7,25 kr. Vi kan skrive disse oplysninger ind i et skema.

Så udregnes den absolutte ændring i x-værdier:

∆x = x₂ – x₁ = 6 – 2 = 4

Vi ved nu at: y₂ = y₁ · a^∆x

og her indsættes tallene ∆x = 4 , y₁ = 6,50 og y₂ = 7,25:

6,50 · a⁴ = 7,25

Denne ligning løses nu for at finde a.

Først divideres med 6,50:

Vi tager derefter den 4. rod:

og med de kendte tal indsat:

Her kan tallet b nemt findes:

Altså er regneforskriften for den eksponentielle funktion, der beskriver udviklingen i mælkeprisen i årene efter 2000 givet ved:

y = 6,15 · 1,0277^x

I denne model for prisudviklingen på mælk kan vi se, at startværdien b er 6,15 , og det betyder, at prisen på mælk i år 2000 var 6,15 kr. Fremskrivningsfaktoren, a, er 1,0277 og det betyder, at mælkeprisen er vokset med 2,77% pr. år.

Denne procedure generaliseres nemt til vilkårlige tal:

Du kan se et bevis for sætningen her.