6 Kombinatorik (ca. 10 sider)

I symmetriske sandsynlighedsfelter kan man beregne sandsynligheder ved blot at tælle muligheder. Her skal vi se, hvordan man enkelt kan tælle muligheder i forskellige situationer.

1. Additionsprincippet

En mand har 7 t-shirts og 9 kortærmede skjorter. Han vil enten have en t-shirt eller en kortærmet skjorte på. Derfor har han

7 + 9 = 16 muligheder for at vælge.

På grillbaren kan du enten vælge mellem 3 forskellige kyllinger, 5 forskellige burgere eller 8 forskellige pizzaer. Derfor har du i alt

3 + 5 + 8 = 16

muligheder for at vælge, hvad du vil spise.

2. Multiplikationsprincippet

Et firma producerer t-shirts. Du kan vælge mellem farverne rød, grøn og blå. Samtidigt produceres t-shirtene i fire forskellige størrelser: S, M, L og XL.

For at få et overblik over, hvor mange forskellige typer, der skal produceres, kan man tegne et tælletræ.

Først vælger du hvilken farve, du vil have. Her er tre muligheder, og derfor er der tre grene i tælletræet.

Men hver farve findes i de fire størrelse S, M, L og XL, fx rød:

Og når vi også indtegner størrelsen for de tre andre farver, får vi det samlede tælletræ:

Vi ser nu, at der er 3 · 4 = 12 forskellige muligheder. For hver af de tre farver er der fire størrelser.

Eksempel

En kvinde har 7 par sko, 12 kjoler og 5 halskæder. Hun skal vælge både et par sko, en kjole og en halskæde til en fest. Hendes samlede muligheder for at kombinere et par sko, en kjole og en halskæde er:

7 · 5 · 12 = 420

Eksempel - nummerplade

I Danmark består en nummerplade af to bogstaver og fem cifre. Der er 28 bogstaver at vælge mellem og 10 cifre. Derfor er det samlede antal danske nummerplader, der kan fremstilles:

28 · 28 · 10 · 10· 10 · 10 · 10 = 78.400.000

I Sverige består en nummerplade af tre bogstaver efterfulgt af tre cifre. Derfor kan der fremstilles:

28 · 28 · 28 · 10 · 10 · 10 = 21.952.000

svenske nummerplader.

3. Permutationer

Når du skal udvælge en række elementer fra en mængde i en bestemt rækkefølge, taler vi om permutationer. Vi ser på en række eksempler:

Eksempel

En forening har 100 medlemmer, og der skal vælges en bestyrelse med en formand, en næstformand og en kasserer. Formanden kan vælges på 100 måder, fordi der er 100 medlemmer at vælge mellem. Når så næstformanden skal vælges, er der 99 medlemmer at vælge mellem (for formanden er allerede valgt). Når så kassereren skal vælges, er der 98 medlemmer at vælge mellem. Antallet af måder at vælge dem på er så:

100 · 99 · 98 = 970.200

Eksempel

Fem drenge på et matematikhold aftaler, at de vil samarbejde om deres fem næste matematikafleveringer. Det skal ske på den måde, at en elev regner opgaver og de andre så skriver opgaverne af. Men de aftaler, at alle skal regne et opgavesæt på skift.

1. opgavesæt kan regnes af 5 elever

2. opgavesæt kan så regnes af 4 elever (for den der regnede sæt 1 har lavet sin opgave)

3. opgavesæt kan regnes af 3 elever (for to af drengene har allerede lavet deres opgave)

4. opgavesæt kan regnes af 2 elever

5. opgavesæt kan regnes af 1 elev (for de fire andre har jo lavet deres opgave)

Derfor er antallet af muligheder for at fordele opgavesættene blandt de fem drenge:

5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Eksempel

I en klasse er der 28 elever. De skal hver holde et oplæg for resten af klassen. Vi vil hvor mange forskellige måder dette kan ske på.

1. oplæg kan holdes af 28 elever

2. oplæg kan holdes af 27 elever (for den elev, der holdt første oplæg, tæller ikke med)

3. oplæg kan holdes af 26 elever (for de to der har holdt oplæg, er ikke med mere)

4. oplæg kan holdes af 25 elever (for de tre elever, der har holdt oplæg, tæller ikke med)

og således kan vi fortsætte:

28. oplæg kan holdes af én elev (for de 27 andre har allerede holdt deres oplæg)

Antallet af muligheder er derfor

28 · 27 · 26 · 25 · ... · 2 · 1 = 3,04888 · 10 ²⁹

Læg mærke til, at resultatet er et meget stort tal. (Se mere her om eksponentiel notation)

I de to sidste eksempler skal vi udregne produktet af alle tallene fra et bestemt tal og ned til 1. Dette har fået sin egen skrivemåde. Nemlig

Eksempel:

2! = 2 · 1 = 2

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 040

På dit CAS-værktøj og på de fleste lommeregnere kan du nemt udregne fakulteter af tal.

På billedet ser du Geogebra udregne fakultet af et par tal. Læg mærke til at tallene hurtigt bliver meget store.

Nu kan vi skrev en formel op for antallet af måder du kan udvælge en række elementer i rækkefølge.

Du kan udregne antallet af permutationer på dit CAS-værktøj. I Geogebra gøres det således:

Så hvis du har syv forskellige bogstaver og skal udvælge tre af dem i rækkefølge, kan det gøres på 210 måder.

4. Kombinationer

I afsnit 3 så vi på antallet af uligheder for at udvælge en række elementer i rækkefølge. Nogle gange skal vi udvælge en række elementer, men her er rækkefølgen underordnet. I dette tilfælde kalder vi det for antallet af kombinationer. Det udregnes således:

Disse tal kan udregnes på dit CAS-værktøj. På Geogebra sker det således. Vi vil udregne

Hvis du har 7 stykker slik og skal udvælge 3, hvor rækkefølgen er ligegyldig, kan du gøre det på 35 forskellige måder.

Eksempel

I forbindelse med kvalitetskontrol udvælges tilfældigt 3 computere i at parti på 100 computere. Dette kan gøres på

måder