Annuitetsopsparing - udledning

Her vil vi udlede formlen for annuitetsopsparring:

Hvor

• A_n er beløbet på kontoen umiddelbart efter indbetaling n.

• y er det beløb, der indsættes hver termin.

• r er renten (hvis renten er p% er r = ^p/₁₀₀).

• n er antallet af indbetalinger.

Bevis:

Ved starten indsættes beløbet y på kontoen. Så

A₀ = y

Efter en termin er der lagt renter til dette beløb, og det er derved blevet til y·(1+r). Samtidigt er der sat y ind på kontoen igen. Derfor er det samlede beløb nu:

A₁ = y·(1+r) + y

I næste periode lægges igen renter til det samlede beløb på kontoen. Dvs vi ganger A₁ med fremskrivningsfaktoren (1+r). Samtidigt lægger vi igen beløbet y til. Derfor er:

A₃ = y·(1+r)² + y·(1+r) + y

Således fortsættes. I næste periode ganges A₃ med fremskrivningsfaktoren (1+r) og der lægges y til.

A₄ = y·(1+r)³ + y·(1+r)² + y·(1+r) + y

Ved den femte indbetaling er beløbet på kontoen blevet til:

A₅ = y·(1+r)⁴ + y·(1+r)³ + y·(1+r)² + y·(1+r) + y

Vi kan nu se, at der er system i formlerne. De bliver længere og længere, men vokser efter samme system. Vi ser også at y optræder i alle ledene, og dermed kan sættes uden for en parentes. Du kan se systemet i denne tabel

Indholdet i parentesen kaldes en kvotientrække. Den består af en række potenser af samme tal. Man kan på en smart måde bestemme summen af en kvotientrække.

Hvis

s = a^n–1 + a^n–2 + ... + a² + a + 1

udregner vi

a·s = a·(a^n–1 + a^n–2 + ... + a² + a + 1) = aⁿ + a^n–1 + ... + a³ + a² + a

Her kan vi se, at de to rækker s og a·s indeholder næsten helt de samme led. Ledene a^n–1 + a^n–2 + ... + a² + a er fælles.

s = a^n–1 + a^n–2 + ... + a² + a + 1

a·s = aⁿ + a^n–1 + ... + a³ + a² + a

Vi udregner nu

(a–1)·s = a·s – s = aⁿ + a^n–1 + ... + a³ + a² + a – (a^n–1 + a^n–2 + ... + a² + a + 1) = aⁿ – 1 , fordi næsten alle forsvinder.

Hermed er:

(a–1)·s = aⁿ – 1

og vi ender med at få:

Nu bruger vi denne formel på udtrykket

s = (1+r)^n–1 + (1+r)^n–2 + ... + (1+r)² + (1+r) + 1 , hvor a = 1+r og får:

Til sidst ender vi med at få:

A_n = y·[(1+r)^n–1 + (1+r)^n–2 + ... + (1+r)² + (1+r) + 1]

og formlen er nu udledt.