Hvis vi har nogle bakterier i en næringsvæske, vil de formere sig ved celledeling, så længe der er næring nok. Hvis der er dobbelt så mange bakterier, vil vi regne med, at der forekommer dobbelt så mange celledelinger. Det betyder, at tilvæksten også vil være dobbelt så stor. Vi forventer, at antallet af bakterier vil vokse med samme procent hvert minut.

Radioaktivt materiale udsender stråling. Strålingen udsendes fra atomkernerne, og når en kerne har udsendt stråling (alfa, beta eller gamma-stråling) ændres den.

Vi siger, at atomkernen henfalder. Ofte vil den efter et henfald blive til en stabil atomkerne, der ikke udsender mere stråling. Derfor vil et radioaktivt materiale med mange radioaktive atomkerner udsende meget stråling, fordi der er mange atomkerner, der kan henfalde. Når der er gået noget tid, vil der være færre radioaktive atomkerner tilbage, og derfor vil strålingen aftage. Hvis der kun er den halve mængde radioaktive atomer tilbage, vil vi forvente, at der kun udsendes den halve mængde stråling. Igen vil vi observere, at radioaktiviteten aftager med samme procent hver time.

Hvis man sætter et beløb ind på en konto i en bank og lader dem stå, vil de trække renter år efter år. Beløbet på kontoen vil vokse med samme procent hvert år. Her er tale om en funktionssammenhæng. Den afhængige variable, y, beløbet på kontoen, vil afhænge af den uafhængige variable, nemlig tiden, x.

I alle tre ovenstående eksempler ændrede y-værdien sig med samme procent, hver gang x-værdien ændres med 1. Den relative ændring af y er konstant, hver gang x-værdien bliver 1 større. Funktionssammenhænge med denne egenskab kaldes for eksponentiel vækst.

Vi kan finde en regneforskrift for eksponentiel vækst ved at tage udgangspunkt i renteformlen.

K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ

Hvis startværdien af den afhængige variable, y, kaldes for b, svarende til startbeløbet på kontoen i banken, K₀,

og fremskrivningsfaktoren 1 + r kaldes for a, kan regneforskriften for sammenhængen skrives:

y = b · a ^x

I en eksponentiel vækst er tallene a og b positive.

Eksempel

Funktionen f(x) = 3 · 1.25 ^x er en eksponentiel vækst med b = 3 og a = 1,25

Funktionen g(x) = 172 · 0,85 ^x er en eksponentiel vækst med b = 172 og a = 0,85

Funktionen h(x) = 0,7 · 4,5 ^x er en eksponentiel vækst med b = 0,7 og a = 4,5

Funktionen k(x) = 3 · x ^1,25 er en ikke en eksponentiel vækst, fordi x ikke optræder som eksponent i et potensudtryk.

Her ses graferne for forskellige eksempler på eksponentiel vækst.

Herunder kan du selv variere på konstanterne a og b i regneforskriften for en eksponentielt vækst: f(x) = b · a^x og se resultatet på grafen

Læg mærke til grafernes forløb. Hvis grundtallet a = 1 + r er større end 1, svarer til det vækst med positiv rentetilvækst ( r > 0 ), og y-værdierne vil vokse, når x vokser. Hvis grundtallet a = 1 + r er mindre end 1, svarer det til vækst med negativ procenttilvækst ( r < 0 ), og y-værdierne bliver aftagende. Læg endvidere mærke til hvordan grafen i den ene retning smyger sig mod x-aksen. Vi siger, at grafen nærmer sig asymptotisk mod x-aksen. Det vil sige, at den aldrig vil ramme x-aksen, men kommer vilkårlig tæt på x-aksen.

Eksempel

Hvis bakterierne i en flødekage, der står i varmen, formerer sig efter denne regneforskrift:

N(t) = 1500 · 1,34^t

hvor t er tiden i timer og N er antallet af bakterier, så kan vi udregne antallet af bakterier efter 4 timer som:

N(4) = 1500 · 1,34 ⁴ = 4836

Der er altså 4836 bakterier i flødekagen efter 4 timer.

Hvis vi vil vide, hvornår bakterieantallet er kommet op på 10.000, skal vi løse ligningen:

10 000 = 1500 · 1,34 ^t

Vi kan løse denne ligning med vores CAS-værktøj, og vi får løsningen t = 6,482 ≈ 6,5

Det vil altså tage ca 6,5 timer før bakterieantallet er 10.000.

I regneforskriften optræder konstanterne b = 1500 og a = 1,34

Tallet b fortæller, at der var 1500 bakterier, da kagen blev stillet på bordet i stuen.

Tallet a = 1,34 fortæller, at bakterieantallet vokser med 34 % hver time.