Trekanter

Når vi skal beskæftige os med geometriske figurer er trekanten den simpleste figur. Samtidig er det også en meget grundlæggende figur, fordi andre mere komplicerede figurer ofte kan opdeles i trekanter. Ordet trigonometri betyder simpelt hen trekantmåling (trigon = trekant og metri = måling).

Hvis vi ser på en trekant, plejer vi at betegne vinklerne med store bogstaver fx A, B og C. Tilsvarende betegnes sidelængderne med små bogstaver for eksempel a, b og c. En vinkelspids og den modstående side i en trekant betegnes altid med samme bogstav.

Af­standen mellem to punkter A og B betegnes |AB|, og dette vil vi undertiden også benytte for længden af en side i en trekant,

altså |AB| = c.

Hvis vi måler alle tre vinkler i en trekant og lægger vinklerne sammen, får vi som bekendt 180^o. Dersom alle vinkler i en trekant er under 90^o, kaldes trekanten spidsvinklet. Hvis en af vinklerne er over 90^o kaldes trekanten stumpvinklet. Og endelig kaldes en trekant, hvor en af vinklerne er 90^o, for en retvinklet trekant.

Ligedannede figurer

Tegningerne herunder forestiller samme figur. De er blot gengivet i forskellige størrelser.

Vinkler, der ligger samme sted i de tre figurer, har samme stør­relse, og sidelængderne er forstørret eller formindsket med samme tal.

I figur b) er alle længderne det dobbelte af de tilsvarende længder i a).

I figur c) er alle længderne 1/3 af de tilsvarende i figur b).

Vi siger, at figur b) er en forstørrelse af figur a) med en skalafaktor på 2. Tilsvarende siger vi, at figur c) er en formindskelse af figur b) med en skalafaktor på 1/3.

Når vinklerne i de to figurer er de samme, og alle sider i den ene figur er forstørret eller formindsket med samme faktor i forhold til de tilsvarende sider i den anden figur, vil de to figurer se ens ud. Vi siger at de to figurer er ligedannede.

Eksempel Landkort

Når man tegner landkort, laver man en tegning, der er ligedannet med det landområde, som kortet skal vise. Alle vinkler er de samme som i landskabet, men alle afstande er gjort mindre. Ved korttegning kaldes skalafaktoren for målestoksforholdet. Her ses et kort over Danmark i målestoksforholdet 1: 4.800.000

På kortet måles afstanden fra Gedser til Skagen til 7,5 cm. I virkeligheden er afstanden så

4.800.000 · 7,5 cm =

36.000.000 cm =

360 km

Eksempel

Hvis ikke alle vinkler er ens i de to figurer, vil de se helt forskellige ud. Herunder er sidelængderne i de to figurer ens, men vinklerne er ændret. Det er tydeligt, at de to figurer ikke ligner hinanden ret meget.

I figuren herunder er alle tilsvarende vinkler i de to figurer ens, men sidelængder er ikke forstørret eller formindskes med samme skalafaktor. Igen ser figurerne forskellige ud.

For at to figurer vil se ens ud, skal vinklerne i de to figurer parvis være ens, og alle sidelængderne i den ene figur skal være lig med sidelængderne i den anden ganget med samme faktor.

For trekanter gælder der dog noget specielt. Hvis to trekanter er ens­vinklede, dvs. at vinklerne i de to trekanter er parvis ens, er de ligedan­nede. De tilsvarende sidelængder i de to trekanter vil altså være for­bundet med hinanden ved samme skalafaktor.

Taleksempel

Herunder ses to ensvinklede trekanter:

Da sidelængderne b = 3 og b’ = 6 er kendt, kan vi finde skalafaktoren:

Alle sidelængder i trekant A'B'C' er derfor 2 gange større end de tilsvarende sidelængder i trekant ABC.

Vi kan derfor finde:

a' = k · a = 2 · 3,2 = 6,4

Og: c = c' : k = 4 : 2 = 2