Logaritmer og regneregler

Vi vil nu definere logaritmer og udlede nogle formler med logaritmer, som er meget nyttige ved regning med eksponentiel vækst. Vi starter med at se på sammenhængen:

y = 10^x

Skemaet herunder viser forskellige værdier af x og y:

I formlen y = 10^x udregner vi y, når vi kender x. Hvis vi omvendt kender y-værdien, kan vi forsøge at lede efter den x-værdi, som passer i udtrykket:

y = 10^x

Denne x-værdi kaldes for logaritmen til y. Den skrives log(y). Som vi har angivet logaritmen til et tal, ses det, at logaritmen er det omvendte af at sætte i 10’ende potens.

Definition af logaritmer:

Hvis tallet y er positivt, defineres logaritmen til y , log(y), som det tal, x , der opfylder:

log(y) = x, hvis der gælder y = 10^x

Der gælder specielt:

log(10^x) = x

og:

10 ^log(y) = y

Du kan her læse om, hvor logaritmerne kommer fra.

Eksempel

Logaritmen til 100 er 2, dvs.

log(100) = 2, fordi 10² = 100.

Af tabellen ovenfor så vi at 0,0316 = 10^-1,5.

Det betyder at log(0,0316) = –1,5.

¨

Eksempel

Ved at vende tabellen for y = 10 ^x , kan vi få en tabel over logaritmeværdier:

Du kan her læse om, hvor logaritmerne kommer fra.

Eksempel

Logaritmen til 100 er 2, dvs.

log(100) = 2, fordi 10² = 100.

Af tabellen ovenfor så vi at 0,0316 = 10^-1,5.

Det betyder at log(0,0316) = –1,5.

På lommeregner og i matematikprogrammer kan logaritmen nemt findes ved at bruge knappen log eller kommandoen ”log( )”.

Logaritmen er et udmærket værktøj, fordi man kan opløse potensudtryk ved hjælp af logaritmer.

Dette kommer til udtryk i denne sætning:

Sætning om logaritmeregler:

Der gælder følgende regler for logaritmer:

1. log(a · b) = log(a) + log(b)

2. log(a : b) = log(a) – log(b)

3. log(a^x) = x · log(a)