3 Bogstavregning (ca. 8 sider)

Led og faktorer

Udtryk bestående af tal og variable kan omformes efter bestemte regler. Lad os først se, hvordan man betragter sådanne udtryk. Sådanne regneudtryk består af led og faktorer. Led er adskilt af regnetegnene + (plus eller addition) og – (minus eller subtraktion), mens faktorer er adskilt af · (gange eller multiplikation) og : (dividere). Ofte undlader man at skrive gange tegnet, så udtrykket 5a betyder 5 gange med variablen a.

Udtrykket: 7a + 3ab – 6b

består af tre led, nemlig 7a, 3ab og 6b. Hvert led består af faktorer, og leddet 7a består af de to faktorer 7 og a. Leddet 3ab består af tre faktorer, nemlig 3, a og b.

Leddenes og faktorernes rækkefølge

I et udtryk kan man bytte om på leddene, som det passer en, blot man sørger for, at regnetegnet foran leddet følger med:

7a + 3ab – 6b =

3ab + 7a – 6b =

3ab – 6b + 7a =

– 6b + 3ab + 7a

Ligeledes er faktorernes orden underordnet, blot man holder rede på, hvilke faktorer der skal ganges på resultatet og hvilke, der skal divideres.

Regnearternes hierarki

Når man skal udregne værdien af et udtryk, er der en bestemt rækkefølge, der skal følges. Den kaldes regnearternes hierarki:

1. Først udregnes potenser og rødder (kvadratrødder ol.)

2. Dernæst udregnes multiplikationer og divisioner.

3. Til sidste udregnes additioner og subtraktioner

I udtrykket: 33 – 6 · 7 + 3 · 2²

udregnes først potensen 2² = 4

og vi får: 33 – 6 · 7 + 3 · 4

Så udregnes alle leddene:

33 – 42 + 12

og endelig får vi det samlede resultat: 23.

Parenteser i regneudtryk

Hvis denne rækkefølge skal brydes, må man bruge parenteser. Parenteser betyder, at parentesens indhold skal udregnes først:

I udtrykket: 4 · (2 + 5)

skal 2 + 5 først udregnes til 7 inden multiplikationen udføres:

4 · (2 + 5) = 4 · 7 = 28

Man kan ophæve parenteser i udtryk efter bestemte regler:

Reglen om plus-parenteser:

Hvis parentesen optræder som et led i et udtryk med + (plus) foran og + eller – bagefter, kan parentesen blot fjernes:

5 + (3a + 7b – 3ab) – 2a = 5 + 3a + 7b – 3ab – 2a

Reglen om minusparenteser:

Hvis parentesen optræder som et led i et udtryk med – (minus) foran og + eller – bagefter, kan parentesen fjernes, hvis vi ændrer alle fortegn (+ og – ) inde i parentesen til det modsatte tegn:

5 – (3a + 7b – 3ab) – 2a = 5 – 3a – 7b + 3ab – 2a

Parentes i gangeudtryk:

Hvis en parentes optræder som faktor i et gangeudtryk og parentesen kun indeholdet ét led – men gerne flere faktorer, kan den blot fjernes:

2 · ( 4 · 7) = 2 · 4 · 7

At gange ind i en parentes:

Hvis parentesen optræder som faktor i et gangeudtryk og indeholder flere led, kan den fjernes, hvis hvert af leddene i parentesen ganges med de faktorer, der optræde uden for parentesen:

7 (a + b – 3) = 7a + 7b – 7 · 3 = 7a + 7b – 21

Fortegnsregler

Når man ganger eller dividerer to tal med hinanden vil resultatets foretegn afhænge af de to tals fortegn. Fortegnsreglerne ved multiplikation kan kort skrives således:

(+) · (+) = (+)

(+) · (–) = (–)

(–) · (+) = (–)

(–) · (–) = (+)

Der gælder de samme fortegnsregler ved division.

Brøker

Hvis der optræder flere led eller faktorer i tæller og nævner i en brøk, skal tæller og nævner opfattes, som om de var anbragt i en parentes:

e

Hvis du skal gange to parenteser med hinanden, så skal alle led i den ene parentes ganges med alle led i den anden parentes:

(a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d

dvs. leddet a ganget både med c og d, og ligeledes ganges leddet b både med c og d.

Hvis du skal sætte en parentes i anden potens, altså gange den med sig selv, er der en række regler, der kaldes kvadratsætningerne. Der er tre kvadratsætninger:

I kvadratsætninger (1) og (2) kommer lederne i parentesen i anden, og derefter det så-kaldte dobbelte produkt af begge led med + foran hvis der er + i parentesen, ellers -.

Bevis for kvadratsætningerne:

Du beviser kvadratsætningerne ved simpelt at gange de to parenteser sammen. Første kvadratsætning:

(a + b)² = (a + b)· (a + b) =

= a·a + a·b + b·a + b·b

= a² + ab + ab + b²

= a² + b² + 2ab

Anden kvadratsætning:

(a – b)² = (a – b)· (a ­– b) =

= a·a + a·(–b) + (–b)·a + (–b)·(–b)

= a² – ab – ab + b²

= a² + b² ­– 2ab

Tredje kvadratsætning:

(a + b)·(a – b)

= a·a + a·(–b) + b·a + b·(–b)

= a² – ab + ab – b²

= a² – b²