Potensvækst - regneforskrift og graf

Potensvækst er en væksttype, der har en regneforskrift af typen:

y = b · x^a

Variationsområdet for den uafhængige variable er alle positive reelle tal (x > 0). Læg mærke til, at regneforskriften for potensvækst og for eksponentiel vækst ligner hinanden meget, men at der er byttet om på x og a. På figuren ses grafer for en række eksempler på potensvækst.

I denne interaktive graf kan du ændre på konstanterne a og b i regneforskriften for en potensvækst og så se, hvordan grafen ændrer udseende.

Eksempel

Hvis vi skal finde en potensvækst ud fra to punkter på grafen, kan man løse to ligninger med to ubekendte. Vi ser på et eksempel, hvor grafen for en potensvækst går gennem punkterne (x₁ , y₁) = (5 , 3) og (x₂ , y₂) = (8 , 7).

Vi kender den generelle formel for potensvækst: y = b · x ^a

Her skal vi bare bestemme tallene a og b. Det gøres ved at indsætte vores to punkter i regneforskriften:

Punktet (5 , 3) giver ligningen: 3 = b · 5 ^a

Punktet (8 , 7) giver ligningen: 7 = b · 8 ^a

Så divideres sidste ligning med den første:

Her kan b forkortes væk og potensudtrykket reduceres på højre side:

Denne ligning med a som ubekendt løses ved hjælp af logaritmer:

Tallet b findes ved at indsætte den fundne værdi for a i en af de oprindelige ligninger fx den første:

3 = b · 5 ^1.8027

og vi isolerer b og får:

Derfor er regneforskriften for potensvæksten hvis graf går gennem punkterne (x₁,y₁) = (5 , 3) og (x₂,y₂) = (8 , 7):

y = 0,1648 · x ^1.8027

Her ses grafen for potensvæksten og de to punkter:

Her kan du se den generelle formel for bestemmelse af tallene a og b i en potensvækst ud fra to punkter på grafen:

Du kan se et formelt bevis for disse formler her.

For potensvækst gælder, at sammen procentvise vækst i den uafhængige variable giver samme procentvækst i den afhængige variable – uanset det udgangspunkt man vælger. Hvis vi har en x-værdi, x₀, og den tilsvarende y-værdi y₀, gælder:

y₀ = b · x₀ ^a

Hvis x-værdien stiger med p_x %, skal x-værdien ganges med x-fremskrivningsfaktoren svarende til p_x %.

Den er 1 + r_x , hvor r_x = p_x /100. Den nye x-værdi er altså:

x = (1+r_x) · x₀

Den tilsvarende y-værdi findes nu:

y = b · x^a = b · ((1+r_x) · x₀)^a

= b · (1+r_x)^a · x₀ ^a

= (1+r_x)^a · b · x₀ ^a

= (1+r_x)^a · y₀

= (1 + r_y) · y₀

Heraf ses, at y-værdien er ganget med fremskrivningsfaktoren (1+r_x)^a , hvilket svarer til, at den er vokset med samme procent uafhængigt af udgangspunktet x₀. Samtidig har vi fundet en formel for y-fremskrivningsfaktoren:

Her kan du se en video om procentfremskrivning af en potensvækst