Den kendte matematiker Pierre de Fermat (1601-1665) arbejdede med potenser af hele tal. Han opstillede hypotesen som ses på billedet oven for. Den kaldes for Fermats store sætning. Det lykkedes først at bevise hypotesen 358 år senere i 1995 af den amerikanske matematiker Andrew Wiles - det er ham på billedet. Du kan læse mere her.
Embedded Files
Potensregnereglerne
Potensregnereglerne
Både i renteformlen og i regneforskriften for eksponentiel vækst optræder potensudtryk. I dette afsnit vil vi undersøge potensbegrebet lidt nøjere og udvide potensbegrebet. Potens benyttes som kort skrivemåde for et tal ganget med sig selv et vist antal gange:
Definition af potens:
Tallet an kaldes en potens af a og betyder a ganget med sig selv n gange:
an = a · a · a · … · a (n faktorer)
Vi kalder a for grundtallet og n for eksponenten.
For potenser gælder en række enkle regler:
Hvis vi ganger to potenser med samme grundtal, får vi:
an · am = (a · a · … · a) · (a · a · … · a) = a n + m
n faktorer · m faktorer n + m faktorer
Vi ganger altså to potensudtryk med samme grundtal ved at lægge eksponenterne sammen.
Hvis vi tilsvarende dividerer en potens an med en anden potens am, hvor m er mindre end n, får vi:
I denne brøk er der flere a’er i tælleren, end der er i nævneren, fordi potensen i tælleren er størst. Vi kan derfor forkorte alle nævnerens faktorer ud med et tilsvarende antal i tælleren. Tilbage er n – m faktorer i tælleren. Derfor får vi
Endelig kan vi tage en potens an og sætte i m’te potens. Dette giver:
(an)m =
(an) · (an) · (an) · … · (an) =
( m parenteser med n faktorer i hver)(a · … · a) · (a · … · a) · (a · … · a) · … · (a · … · a) =
( Ialt n · m faktorer )a n · m
Der er m parenteser med n faktorer i hver, og det giver n·m faktorer i alt. Derfor bliver den samlede eksponent i potensen n·m
Vi samler potensreglerne i denne oversigt:
Potensregler:
Multiplikation af potenser: an · am = a n+m
Division med potenser: an / am = a n – m
Potens af potenser: (a n)m = a n · m
Lige som plus og minus er modsatte regningsarter, har potensopløftning også et modstykke. Det er roduddragning.
Definition af rod:
Den n’te rod af et positivt tal, a, er det tal, b, som i n’te potens giver a:
Hvis:
Læg mærke til, at for positive tal a gælder. Man kan sige, at potens og rod er hinandens omvendte regnearter:
Eksempel 6.3.1
Vi ser at:
fordi
fordi
fordi
Det udvidede potensbegreb
Det udvidede potensbegreb
Nu vil vi udvide potensbegrebet til potenser, der ikke nødvendigvis er hele positive tal. Umiddelbarat giver det ikke mening af gange et tal med sig selv nul gange eller et negativt antal gange. Vi ser på følgende tabel, der viser potenser af tallet a:
Hver gang vi går en plads til ned i tabellen, bliver potensen af a én større. Vi ganger med a, når vi bevæger os et trin nedad. Går vi et trin op, vil vi derimod dividere med a. Dette system vil vi fortsætte på de tomme pladser til oven over potensen 1:
Dette betyder, at vi må sige, at tallet a0 skal være tallet 1.
Fortsætter vi yderligere til negative eksponenter, skal vi dividere med a endnu nogle gange opad i tabellen:
Negative eksponenter i potensudtryk svarer altså til, at vi skal dividerer med tallet a i stedet for at gange, som vi skal ved positive eksponenter. Systemet i tabellen fortæller os, at potensbegrebet kan udvides til:
Udvidelse af potensbegrebet 1
Udvidelse af potensbegrebet 1
Hvis a er et tal forskellig fra 0 defineres:
Vi vil yderligere udvide potensbegrebet til også at gælde for eksponenter, der ikke er hele tal. Igen skal systematikken i vores skema være udgangspunkt for definitionen.
Vi ser igen på skemaet:
Hvis vi går to skridt frem i skemaet, fx fra n = 1 til n = 3, bliver potensen af a ganget med a · a, altså a2 gange større.
Dette gælder også fra n = 0 til n = 2. Ja det vil faktisk gælde overalt, hvor vi gør eksponenten 2 større. Tilsvarende ses, at hvis eksponenten bliver 3 større svarende til tre skridt mod højre i tabellen, så bliver potensen a3 gange større. Hvert skridt betyder at potensen bliver en bestemt faktor større. Dette system vil vi udnytte, når vi betragter brøker som eksponent.
Vi ser igen på skemaet, hvor vi har indskudt tallene 1/3 og 2/3 mellem 0 og 1:
Det tal, der skal svare til potensen 1/3 kaldes for b. Derfor kan vi nu udfylde tabellen, idet vi ser, at hver gang vi rykker en plads mod højre i tabellen, skal potensen ganges med b:
Denne analyse af situationen viser os, at:
og dermed at:
Heraf ser vi, at følgende må gælde:
og
Udvidelse af potensbegrebet 2:
Hvis a er et positivt tal defineres:
Eksponentiel notation
Eksponentiel notation
Meget store tal og meget små tal kan ofte være uoverskuelige. Ved at anvende titalspotenser kan man skrive sådanne tal på en mere overskuelig måde. Når man ganger et tal med 10, så flytter man blot decimalkommaet en plads til højre.
234,567 · 10 = 2345,67
Ganger man med 103, så skal kommaet flyttes tre pladser til højre:
234,567 · 103 = 234567
Hvis vi så ganger med 10 endnu en gang, forsynes tallet med et nul bagerst:
234567 · 10 = 2345670
Tilsvarende gælder ved division med titalspotenser. Her flytter man bare kommaet til venstre i stedet for:
23,456 : 10 = 2,3456
og: 23,456 : 103 = 0,023456
Dette kan udnyttes ved angivelse af meget store tal. Jorden vejer:
5976000000000000000000000 kg
(fra: Nasa.gov)
og Solen vejer:
1989000000000000000000000000000 kg
Disse tal kan omskrives til titalspotenser således.
Jordens masse: 5,976 · 10 24 kg
Solens masse: 1,989 · 10 30 kg
Tilsvarende kan meget små tal omskrives til titalspotenser ved at udnytte negative potenser. En elektron vejer:
0,000000000000000000000000000000911 kg
Dette kan omskrives til tallet:
9,11 · 10 –31 kg
Når tal på denne måde angives med titalspotenser, siger vi, at tallet er angivet med eksponentiel notation.
Report abuse