Sinus- og cosinusrelationerne

I dette afsnit skal du se, hvordan formlerne til beregning af sider og vinkler udledes. Det er disse formler, der ligger indbygget i trekantsberegnerne. Her skal vi se på arealformlerne og sinusrelationerne.

Areal af en trekant

Nu vil vi se på trekanter, der ikke nødvendigvis er retvinklede, men kan have alle mulige udseender. Indtil nu har vi kun udviklet formler til beregning af sider og vinkler i retvinklede trekanter, og denne viden vil vi udnytte i trekanter, der ikke er retvinklede. Her ses en sådan trekant:

Arealet af trekanten, T, udregnes som:

T = ½ · h · g

Hvor h er en af trekantens højder og g er den tilhørende grundlinje. Vi ser på højden på siden b, som herved bliver grundlinje i trekanten. Altså er g = b.

Men højden deler jo trekanten op i to retvinklede trekanter, og i hver af disse gælder vores trigonometriske formler.

Vi ser på den venstre trekant:

I denne retvinklede trekant er højden h modstående katete til vinkel A. Vi kan derfor skrive en formel op for dens længde ved hjælp af sinus:

h = c · sin(A)

Indsætter vi nu dette sammen med g = b i arealformlen for en trekant får vi:

T = ½ · h · g = ½ · c · sin(A) · b = ½ · b · c · sin(A)

Vi lægger mærke til, at de elementer, der indgår i formlen, er en vinkel og de to sider, som støder op til vinklen. I stedet for at bruge vinkel A, kunne vi lige så godt have brugt vinkel B eller C sammen med de sider, som støder op til hver af dem. Derfor er der tre formler for trekantens areal:

Sætning om areal af en trekant:

I trekant ABC kan arealet beregnes ved en af disse formler:

T = ½ · b · c · sin(A)

T = ½ · a · c · sin(B)

T = ½ · a · b · sin(C)

Du kan se udledningen af arealformlerne i denne video:

Sinusrelationerne

Nu vil vi udlede nogle formler til beregning af sidelængder og vinkler i vilkårlige trekanter. Sinusrelationerne er tre formler med sinus, der kan bruges til dette. Udledningen af disse formler tager udgangspunkt i formlerne for arealet af en trekant:

I denne trekant kan vi bestemme arealet med tre formler, men da de alle tre giver samme tal, nemlig trekantens areal, vil der gælde:

${\textstyle{1 \over 2}} \cdot a \cdot b \cdot c$

I denne relation vil vi dividere med størrelsen på alle sider af lighedstegnene:

$\frac{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot b \cdot c \cdot sin(A)}}{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot a \cdot b \cdot c}}$

$= \;\frac{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot a \cdot c \cdot sin(B)}}{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot a \cdot b \cdot c}}$

$= \;\frac{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot a \cdot b \cdot sin(C)}}{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot a \cdot b \cdot c}}$

Vi kan forkorte faktorer, der både optræder i tæller og nævner. Herved får vi formlerne:

Det er disse formler, der kaldes for sinusrelationerne.

Her kan du se udledningen af sinusrelationerne i denne video:

Læg mærke til, at der faktisk er tale om tre formler sat samme i en, nemlig de tre formler:

$\frac{{sin(A)}}{a}\; = \;\frac{{sin(B)}}{b}$

$\frac{{sin(A)}}{a}\; = \;\frac{{sin(C)}}{c}$

$\frac{{sin(B)}}{b}\; = \;\frac{{sin(C)}}{c}$

Vi opsummerer det i følgende sætning:

Sinusrelationerne:

I trekant ABC gælder følgende formler:

Her kan du se et eksempel på brug af sinusrelationerne

Cosinusrelationerne gælder i vilkårlige trekanter og bruges til at udregne sidelængder og vinkler.

Cosinusrelationerne:

I trekant ABC gælder følgende formler:

${a^2}\; = \;{b^2}\; + \;{c^2}\; - \;2 \cdot b \cdot c \cdot cos(A)$

${b^2}\; = \;{a^2}\; + \;{c^2}\; - \;2 \cdot a \cdot c \cdot cos(B)$

${c^2}\; = \;{a^2}\; + \;{b^2}\; - \;2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C)$

Nu vil vi udlede cosinusrelationerne.

Igen ser vi på en vilkårlig trekant, som vi deler i to retvinklede trekanter ved hjælp af højden på b. Grundlinjen b bliver delt op i to stykker, og vi kalder den ene for x. Den anden bliver derfor b – x.