Tangent og tangenthældning

For den lineære funktion f(x) = 2·x + 3 (den røde linje) er hældningen 2. Det betyder, at y-værdien vokser med 2, hver gang x-værdien vokser med 1. Vi siger, at funktionen f har en væksthastighed på 2. På samme måde ser vi, at funktionen g(x) = 0,25·x + 1 (grønne linje) har en væksthastighed på 0,25.

Funktionen h(x) = –3·x – 1 har en hældning på –3, og derfor er væksthastigheden lig med –3. Her vil y-værdien ændre sig med –3, hver gang x bliver 1 større.

Vi vender tilbage til eksemplet med temperaturen i ovnen.

Her vil vi undersøge væksthastigheden nærmere. Vi ser på område A, hvor temperaturen stiger meget, og på område B, hvor temperaturstigningen er mindre. Hvis vi zoomer ind på område A, ser grafen således ud:

Vi ser, at temperaturen stiger fra 85° til 98° på ét minut. Temperaturstigningen er derfor 13 grader pr. minut her.

Ser vi på område B og zoomer ind, får vi dette billede:

I dette område stiger temperaturen 1° på ét minut. Det betyder, at temperaturstigningen er 1 grad pr. minut her.

Vi lægger mærke til, at i de to zoombilleder er grafen næsten en ret linje. Hastigheden er netop den rette linjes hældning. De fleste grafer kommer til at ligne en ret linje, hvis de forstørres meget op. Den rette linje, som grafen kommer til at ligne, kaldes for tangenten til grafen.

En tangent til en graf i et punkt er således en ret linje, der rører grafen i punktet og som har samme retning som grafen i punktet.

Du kan også forestille dig, at du zoomer ind på grafen rigtigt mange gange. Så vil grafen næsten være en ret linje, og denne rette linje er tangenten til grafen.

Dit CAS-vækrtøj kan nemt tegne tangenter til grafen. Se fx herunder hvor grafen for f(x) = x³ – 3x + 2 er indtegnet - den røde graf. Samtidigt er tegnet en tangent til grafen i et punkt - den blå linje. Du kan se, hvordan tangenten ændres, når du flytter punktet rundt på grafen.

Eksempel: Afkøling af kaffe

I en model for afkøling af kaffe i en termokande vil temperaturen T, målt i grader celsius, afhænge af den tid, t, målt i minutter, der er gået siden kaffen blev hældt i termokanden. Sammenhængen er:

Vi kan eksempelvis udregne temperaturen af kaffen efter 20 minutter T(20)

Resultatet betyder, at kaffen i termokanden er ca. 67 grader varm efter 20 minutter. Vi kan finde tangenthældningen for grafen ved at bruge vores CAS-værktøj, og resultatet er:

På grafen har vi med GeoGebra indtegnet en tangent (markeret med grøn farve).

Tangenthældningen findes til at være -0,93.

Hvis du følger tangenten ét skridt i x-aksens retning vil temperaturen falde med 0,93 °C. Og da tangenten følger grafen gennem punktet, betyder det, at kaffen i termokanden efter 20 minutter falder med lidt under 1 °C i minuttet.

Dette kan selvfølgelig gentages i alle andre punkter på grafen og tangenthældningen i et givet punkt fortæller, hvor mange grader kaffens temperatur ændrer sig pr. minut. Derfor vil tangenthældningen fortælle hvor hurtigt temperaturen falder. Altså angive temperaturens ændringshastighed.