2 Interval-inddelte observationer (ca. 12 sider)

Frekvens og histogram

Du kan måle din reaktionstid på flere forskellige hjemmesider (fx http://nrich.maths.org/reactionTimerApp/#/), eller du kan få en app til din telefon eller iPad, der kan bestemme din reaktionstid. Hvis du prøver, vil du opdage, at din reaktionstid ikke er den samme hver gang. Din reaktionstid er lidt tilfældig. Men din reaktionstid er afgørende for din sikkerhed i trafikken.

Det har vist sig, at reaktionstiden er meget afhængig af forskellige faktorer. Hvis du hører musik, så ændres din reaktionstid sig. Hvis du snakker med andre fx i mobiltelefon, mens du udfører testen, så får du en længere reaktionstid. Hvis du er spirituspåvirket, så vil din reaktionstid øges meget.

I et forsøg har man registreret reaktionstiden for en mand 120 gange. Resultaterne, som er målt i millisekunder, ses i dette skema:

Prikdiagrammet over observationerne ses her:

Her er så mange forskellige observationer, at selv om prikdiagrammet giver et godt overblik, så vil behandlingen af data være besværlig. Derfor samler man observationerne i intervallet. Man siger, at man grupperer observationerne.

Her vælger vi at inddele i intervaller af længde 40. Så tæller vi, hvor mange observationer, der ligger i hvert interval. Hvis en observation ligger på en grænse mellem to intervaller, så tælles den med i det interval, der ligger til venstre for grænsen. Fx tælles observationen ”300” med i intervallet ”260-300” og ikke i ”300-340”. Når man ser alle observationerne igennem, så finder man ud af, at der er 74 observationer i intervallet ”260-300”. Dette kaldes for intervalhyppigheden for intervallet ”260-300”. Hvis man skal sammenligne reaktionstiderne for denne mandlige forsøgsperson med en anden, er man nødt til at omregne hyppighederne til procent.

Intervallet med de mindste observationer er intervallet ”100-140”, og derfor kaldes tallet 100 for mindsteværdien. Intervallet ”420-460” indeholder de største observationer og derfor kaldes tallet 460 for størsteværdien. Intervallet ”260-300” indeholder flest observationer, og det kaldes for typeintervallet. Så personens reaktionstider ligger mellem 100 millisekunder og 460 millisekunder, og de fleste reaktionstider ligger mellem 260 og 300 millisekunder.

Eksempel 8.4.1

Efter målingerne af forsøgspersonens reaktionstid indtog forsøgspersonen 4 genstande alkohol, hvorefter man målte reaktionstiden.

Resultaterne ses her

Her kan man se, at reaktionstiden er væsentligt forøget ved alkoholindtagelsen, og at der er større variation i reaktionstiderne.

Middelværdi og spredning

Hvis man har grupperede observationer, og man kun kender de intervaller, observationerne ligger i, kan man alligevel finde middeltal og spredning.

Her vil vi gå ud fra, at observationerne i hvert interval fordeler sig jævnt i hele intervallet. Når vi så skal udregne middelværdien vil det svare til, at alle observationerne ligger i intervallets midtpunkt. Derfor finder vi midtpunktet i hvert interval:

For at finde middeltallet skal vi nu blot dividere med den samlede frekvens af alle observationerne, og den er jo 100%. Derfor finder vi middeltallet til at være:

Altså er den gennemsnitlige reaktionstid for personen på 287 millisekunder.

Variansen udregnes igen ved at sætte forskellen på intervalmidtpunktet og middelværdi i anden potens og så finde deres middelværdi:

Vi finder variansen ved at dividere med 100%:

I intervallet ”260-300” er det højre endepunkt ”300” og her er den kumulerede frekvens 75,0%. Den kumulerede frekvens er udregnet sum summen af alle frekvenserne i intervaller fra ”300” og nedefter:

0,8% + 0% + 0% +12,5% + 61,7% = 75%

Her har man altså udregnet hvor mange procent af målingerne, der ligger på 300 millisekunder eller derunder. Altså vil reaktionstiden være 300 millisekunder eller hurtigere i 75% af forsøgene.

Man tegner en sumkurve ved at indsætte højre intervalendepunkt ud ad x-aksen og den tilsvarende kumulerede frekvens op ad y-aksen. De punkter, der herved fremkommer, forbindes med rette linjestykker.

På denne sumkurve kan man aflæse kvartilsættet. Man går ind i sumkurven ved den kumulerede frekvens på 25% og aflæser den tilsvarende x-værdi, denne er 267,6 og det er første kvartil.

Går man ind ved 50%, får man medianen eller anden kvartil, og den bliver 283,8. Endelig kan man gå ind ved 75% og finde tredje kvartil, som bliver 300.

Kvartilsættet bliver derfor

Første kvartil: 267,6 millisekunder

Median: 283,8 millisekunder

Tredje kvartil: 300,0 millisekunder

Kvartilsættet kan illustreres med et boksplot, og det ser således ud:

Eksempel 8.6.1

Hvis vi ser på reaktionstiden for den alkoholpåvirkede mand, så bliver sumkurven:

Kvartilsættet bliver:

Første kvartil: 334,5 millisekunder

Median: 372,5 millisekunder

Tredje kvartil: 430,9 millisekunder

Her er boksplottet for den alkoholpåvirkede mand tegnet i blå farve sammen med boksplottet for den upåvirkede mand tegnet med orange: