Annuitetsgæld - udledning

Her vil vi udlede formlen for annuitetsgæld:

Bevis:

Vi optager en gæld på A₀.

Ved første termin er denne gæld vokset til A₀·(1+r). Samtidigt betaler du y af din gæld. Så ved første termin er din gæld:

A₁ = A₀·(1+r) – y

Denne gæld forrentes til anden termin ved at du ganger med fremskrivningsfaktoren (1+r) og bliver til: A₀·(1+r)² – y·(1+r).

Men du indbetaler igen y og derfor er din gæld ved anden termin:

A₂ = A₀·(1+r)² – y·(1+r) – y

Således fortsættes. Du ganger din gæld med fremskrivningsfaktoren (1+r) og trækker y fra.

A₃ = A₀·(1+r)³ – y·(1+r)² –y·(1+r) – y

og igen:

A₄ = A₀·(1+r)⁴ – y·(1+r)³ – y·(1+r)² – y·(1+r) – y

Nu kan vi se systemet i formlen, og vi får at:

A_n = A₀·(1+r)ⁿ – y·(1+r)^n–1 – y·(1+r)^n–2 – ... – y·(1+r)³ – y·(1+r)² – y·(1+r) – y

I alle de led, der indeholder faktoren y, sættes –y uden for parentes:

A_n = A₀·(1+r)ⁿ – y·[(1+r)^n–1 + (1+r)^n–2 + ... + (1+r)³ + (1+r)² + (1+r) + 1]

Indholdet i den kantede parentes er en kvotientrække og summen kan udregnes som vist i udledningen af formlen for opsparingsannuitet. Se her.

s = (1+r)^n–1 + (1+r)^n–2 + ... + (1+r)³ + (1+r)² + (1+r) + 1

Vi ender derfor med udtrykket:

Vi afdrager vores gæld på n terminer. Det betyder, at restgælden her er A_n = 0kr. Dvs

Denne ligning omformes til

Endelig isoleres y i ligningen:

og formlen er udledt.