Optimering - praktisk problemløsning

Man kan bruge funktioner og grafer til at løse praktiske problemer. Vi ser på en række eksempler.

Eksempel 1

En gårdejer vil lave en indhegning til sine høns. Han har 20 meter hønsenet til rådighed. Indhegningen laves op ad muren til laden, så han behøver kun at indhegne den på de tre sider.

Gårdejeren vil gerne finde ud af, hvordan han skal lave sin indhegning, så den bliver så stor som muligt. Vi indfører den variable, x , der angiver længden af de to sider af indhegningen, der støder op mod muren af laden. Da der er to af disse sider, vil der være (20 – 2·x) meter tilbage af hønsenettet til den sidste side. Arealet, A, kan da findes som:

A(x) = x · (20 – 2x)

Vi ser, at der er tale om en funktionssammenhæng mellem de to variable, x, og A. Hver gang vi kender længden af siden op mod muren, x, så kan vi udregne arealet af indhegningen, A. Vi skriver x i parentes efter variablen A for at gøre opmærksom på, at værdien af A afhænger af den valgte x-værdi.

Vi vil ud af, hvordan gårdejeren kan lave den største indhegning til sine høns.

For at finde ud af hvornår arealet er størst, tegnes en graf, der illustrerer sammenhængen. Her er grafen tegnet i GeoGebra. Du kan trække i punktet på x-aksen

Det største areal bliver 50 m², og det fås netop, når x vælges til 5 m. Eller sagt med almindeligt sprog. Den største indhegning laves ved at lade de to sider, der støder op mod muren, være 5 meter lange og den sidste sidelængde være 10 meter. Alle andre mål vil give en indhegning, der er mindre.

Eksempel 2

En chokoladefabrikant vil lave en æske uden låg til chokolader. Han skal bruge et stykke pap, der måler 21 cm på den ene led og 33 cm på den anden led.

Han vil skære fire hjørner af pappet.

Så vil han gruge den midterste del som bund og resten som de fire sider i æsken. Så foldes siderne op:

og æsken er færdig.

Men nu er spørgsmålet, hvor meget han skal skære af i siderne. Det kan han jo selv bestemme. Det er en uafhængig variabel, som vi vil kalde for x. Dette tal bliver til højden på kassen. På figuren kan du bestemme, hvor høj kassen skal være ved at trække i skyderen. Læg mærke til at længde og bredde ændres, når du klipper et større hjørne af.

Længden af kassen kan beregnes til: l = 33 – 2·x

Bredden af kassen bliver b = 21 – 2·x

Højden af kassen bliver x

Derfor kan rumfanget af kassen udregnes til V(x) = (33 – 2x)·(21 – 2x)·x

Vi tegner grafen i et CAS-værktøj:

På x-aksen ser du, hvor meget du skal skære af papstykket, og på y-aksen ser du kassens rumfang. Det største rumfang har vi, der hvor grafen er højest. Det er i punktet (4.08 ; 1301.3). Det betyder, at hvis du vil lave den kasse, der har størst rumfang, skal du skære hjørner, der er 4,08 cm, fra pappet. Når kassen er lavet er rumfanget 1301,3 cm³.