Andre polynomier

Et polynomium er en funktion, hvis regneforskrift består af led, der alle indeholder en heltalspotens af x. Her er et par eksempler på polynomier:

p₁(x) = 7·x⁵ + 3·x² – 2x + 1

p₂(x) = –2·x⁶ + 5·x⁴ + x + 7

p₃(x) = x¹² + 4·x¹⁰ – x⁸ + 13·x⁷

Graden af et polynomium er den højeste potens af x, der forekommer. Du kan se, at graden af p₁ er 5, og graden af p₂ er 6, mens grafen af p₃ er 12.

Her ser du en graf for et 5.gradspolynomium. Du kan ændre på regneforskriften ved at trække i skyderne.

Ved at sætte a₅ = 0, får du en graf for et 4.gradpolynomium frem. Du kan også sætte a⁴ =0 og se, hvordan 3.gradspolynomier ser ud.

Et 5. gradspolynomium ser besynderligt ud. Grafen kan vende op til 4 gange. Grafen for et 7.gradspolynomium kan vende 6 gange.

Et 5.gradspolynomium kan også skære x-aksen flere gange - op til 5 gange.

Polynomiers rødder

En rod i et polynomium p(x) er en løsning til ligningen:

p(x) = 0

En rod er altså et sted, hvor grafen skærer x-aksen.

Her ses grafen for polynomiet p(x) = x³ – 4x² + x + 6.

Du ser, at grafen for p(x) skærer x-aksen i tallene –1, 2 og 3. Det er altså polynomiets rødder. Det kan vi også tjekke ved at udregne:

P(–1) = (–1)³ – 4·(–1)² + (–1) + 6 = –1 – 4 –1 + 6 = 0

P(2) = 2³ – 4·² + 2 + 6 = 8 – 16 + 2 + 6 = 0

P(3) = 3³ – 4·3² + 3 + 6 = 27 – 26 + 3 + 6 = 0

Når du skal finde rødderne i et polynomium, er det nemmest at bruge et CAS-værktøj, der med "solve" nemt finder rødderne.

På de fleste CAS-værktøjer skal du blot indtaste: "solve(x³ – 4x² + x + 6 = 0,x)" og du får så svaret: x = –1, x = 2, x = 3.

Man kan vise, at et polynomium af n’te grad højst kan have n rødder. Hvis polynomiet har ulige grad er der altid mindst én rod, hvorimod polynomier af lige grad godt kan være uden rødder.