7月22日

投稿日: 2009/07/24 22:30:37

有名な話だが、9本のはずれと1本のあたりからなるくじがあった時、引くのが何番目でも当たる確率は変わらない。

これはちょっと計算すれば分かる。直感的に分かる。

一人目：1/10

二人目：9/10 * 1/9 = 1/10

三人目：9/10 * 8/9 * 1/8 = 1/10

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十人目：9/10 * 8/9 * 7/8 * … * 1/1 = 1/10

同様に8本のはずれと2本のあたりからなるくじの場合も、何番目にくじを引いても当たる確率は変わらない。

でもこっちは計算がかなりめんどくさい。直感的には全然分からない。

一人目：2/10 = 1/5

二人目：2/10 * 1/9 + 8/10 * 2/9 = 1/5 /*一人目あたりの場合と一人目はずれの場合*/

三人目：2/10 * 8/9 * 1/7 + 8/10 * 2/9 * 1/8 + 8/10 * 7/9 * 2/8 = 1/5 /*一人目あたりの場合と二人目あたりの場合と二人ともはずれの場合*/

四人目：四個の分数の積が4項からなる多項式 = 1/5

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十人目：十個の分数の積が9項からなる多項式 = 1/5

なんで一緒になるんだ・・・と思って色々考えたら、期待値から逆算する方法を思いついた。

2あたり8はずれの場合

一人目：期待値の相和は2。くじの本数は10。従って、一本あたりの期待値は2/10 = 1/5。∴当たる確率は1/5

二人目：期待値の相和は2 - 1/5 = 9/5。くじの本数は9。従って、一本あたりの期待値は(9/5)/9 = 1/5。∴当たる確率は1/5

三人目：期待値の相和は9/5 - 1/5 = 8/5。くじの本数は8。従って、一本あたりの期待値は(8/5)/8 = 1/5。∴当たる確率は1/5

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十人目：期待値の相和は2/5 - 1/5 = 1/5。くじの本数は1。従って、一本あたりの期待値は(1/5)/1 = 1/5。当たる確率は1/5

おわり