2 Le cavalier-caméléon

Il n'est pas obligatoire d'être un joueur d'échecs, pour savoir, quelle pièce est la plus étonnante. Bien sûr, c'est le cavalier! Ce n'est pas pour rien (qu'en Russie) l'expression "un coup de cavalier" est devenu très populaire et est très utilisée. Et un des grands maîtres les plus audacieux, Saveli Tartakover, disait carrément que "toute la partie d'échecs - est un coup de cavalier masqué". C'est pour cela, en passant vers les casse-têtes avec la participation des pièces d'échecs, on s'arrête en premier tour sur les problèmes du cavalier.

Des autres pièces le cavalier se différencie le plus, que à chaque coup il change de case, sur laquelle il se trouve. Beaucoup de problèmes d'échecs et de casse-têtes se résoluent effectivement, si utiliser ces qualités du cavalier-caméléon.

Peut-il le cavalier d'arriver d'un coin de l'échiquier jusqu'à l'autre, opposé, en restant sur chaque case exactement une fois?

Bien sûr, non. Par exemple, la case de départ a1 noire, et sur chaque coup impair le cavalier tombe sur une case blanche. Donc, il doit finir son chemin au 63éme coup sur une case blanche. Mais la case h8, dans le coin opposé de l'échiquier, est aussi noire - contradiction. (On va plus parler des voyages du cavalier sur un échiquier plus bas.)

Dans le cas donné tout s'est révélé simple, mais curieux, que le joueur d'échecs à l'échiquier se trouve avec des questions de ce genre.

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Ici les blancs font nulle d'une seule façon - 1. Rc1! Maintenant leur roi va de c1 à c2 et à l'envers, en occupant d'en sorte chaque fois la case de la même couleur que le cavalier, et ne faisant pas sortir le roi noir de l'enfermement. Et dans le cas 1. Rc2 le cavalier arrive sur d3 avec le roi sur la même case c2, l'autre est obligé de reculer, et le pion fait dame. L'analogie entre cet exemple d'échecs et du casse-tête précédent est évidente.

Et voici un problème gracieux, dans lequel il est demandé aussi d'être plus malin que le cavalier-caméléon.

V. Tchekhover, 1937

Gain

Dans le coin bas droit les pièces en foule ne peuvent pas bouger, c'est-à-dire se trouvent en zugzwang des deux côtés. Par exemple, si la dame part de h3, alors soit la tour sera perdue, soit le fou noir reculera avec f2-f1D inévitable. De l'autre côté, maintenant n'importe quel coup du fou f1 ou du cavalier h1 mène vers la mort immédiate des noirs, et, donc, ils peuvent déplacer seulement le cavalier h8. Voilà, le roi blanc doit arriver à ce cavalier et le prendre. Il peut aller seulement sur les cases noires, sinon sur une case blanche il a échec du fou avec la promotion du pion "f".

Mais le déplacement droit du roi ne donne pas de résultat: 1. Rb2 Cf7 2. Rc3 Ch8 3. Rd4 Cf7 (en recouvrant la case e5) 4. Re3 Ch8 5. Rf4 (sur 5. Dh4 Fd3 6. Txh1+ les noirs ne jouent pas 6...ghD? 7. Dxf2#, mais 6...ghC!) 5...Cf7! (en gardant les cases e5 et g5) 6. Re3 Ch8 7. Rd4 Cf7 8. Rc5 Ch8 9. Rd6 Cg6! Donc, le cavalier garde toutes les cases de l'invasion. Pour quand même arriver à la case h8 le roi blanc de changer le correspondance des couleurs entre lui et le cavalier h8. Cela peut être arrivé, en se placant une fois sur une case blanche par le roi blanc. Cette case se révèle a8 - La seule indisponible au fou noir.

Après avoir découvert le secret, il n'est pas difficile de trouver la réponse: 1-6. Rb2-c3-d4-c5-b6-a7 (le cavalier noir se déplace de h8 à g6 et à l'envers) 7. Ra8! Cg6 8. Rb8 Ch8 9. Rc7 Cf7! Sans avoir attendu, le cavalier à de nouveau créé la barrière pour le roi, mais c'est seulement un obstacle temporaire. 10-13. Rb6-c5-d4-e5 Cg6+ 14. Rf6 Ch8 15. Rg7 Cg6 16. h8D. Après 16. Rxg6 Fd3+ et tout le travail des blancs n'aurait servi à rien. 16...Cxh8 17. Rxh8 Cg3 18. Dxg3 Fd3 19. Dxg2#. Comme vous voyez, la résolution contient encore un moment curieux: en commencant dans un coin de l'échiquier, le roi, avant d'atteindre la cible a été dans encore deux!

Des autres, des problèmes et des casse-têtes encore plus originaux sur le cavalier-caméléon, le discours va parler, par exemple, dans "Les zigzagues" et "Voyage dans le passé".

Entre les casse-têtes, lés avec les circuits des pièces sur l'échiquier, le plus connu, qu'on peut dire classique, se révèle le suivant.

Problème sur le coup du cavalier. Passer avec le cavalier par toutes les cases de l'échiquier, en visitant chacune également une fois.

Une popularité spéciale de ce casse-tête s'explique par, que dans les XVIII et XIX siècles beaucoup de mathématiciens importants s'en occupaient, de même que le grand Leonard Euler, en lui ayant consacré des grandes mémoires "Résolution d'une question curieuse, qui, il semble, ne se donne à aucune observation". Même si le problème était connu avant Euler aussi, c'est lui qui ait porté l'attention sur son existence mathématique, et pour cela il est souvent lié à son nom.

Le problème est bien plus difficile, constituant non pas la trouvaille d'un voyage concret du cavalier sur l'échiquier, mais en recherche du nombre de ses circuits. Hélas, ce problème n'est toujours pas résolu et, il semble, qu'il n'y a pas beaucoup de chances sur la réussite (que, probablement, Euler voulait dire, en donnant le nom à son travail). Il est prouvé seulement, que le nombre des circuits cherchés du cavalier, surpasse 30 millions.

Le circuit de cette ou d'une autre pièce sur l'échiquier, cavalier compris, est - fermé, si de la dernière case elle revient en un coup à celle du départ. Un circuit comme ça, évidemment, peut être commencé de n'importe quelle case, graphiquement il représente une ligne fermée.

Et si le début et la fin du circuit ne sont pas liés entre eux par le coup de la pièce donnée, alors ce circuit est - ouvert.

Il y a beaucoup de méthodes inventées pour trouver un circuit ou un autre du cavalier sur tout l'échiquier, souvent elles portent le nom de leurs premiers découvreurs - la méthode d'Euler et de Vandermond, la méthode de cadre de Mounka et Collini, la méthode de divisions en quarts de Polignac et Roger et les autres. Mais le plus simple et le plus effectif jusqu'à maintenant reste la règle de Varnsford, inventée il y a un siècle et demi: sur chaque coup le cavalier de préférence doit occuper la case, dont il peut faire le plus petit nombre de sauts sur le cases encore non passées. En résultat le cavalier sans danger finit le voyage sur les 64 cases de l'échiquier. (En sautant vers l'avant, disons, que dans non jours, l'ordinateur a rentré dans cette règle une précision - lisez l'histoire "Le robot-cavalier!")

Beaucoup de créateurs des circuits du cavalier voulaient mettre dans leur exercice, jusqu'où c'est possible, un élément esthétique et ont atteint des résultats vraiment curieux.

Le circuit donné, appartenant à Yanish, - les numéros répondent à la séquence de la visite du cavalier des cases de l'échiquier - est remarquable en quelques appartenances. Il est fermé, forme un carré demi-magique (les sommes des nombres en long de toutes les colonnes et rangées sont égales à 260) et, à part cela, a une symétrie incroyable - en tournant l'échiquier à 180 degrés la première moitié du circuit (numéros de 1 à 32) se transforme en deuxième (numéros de 33 à 64). A propos, construire un circuit de cavalier, en formant un vrai carré magique, n'a été réussi par personne.

Des temps d'Euler il est connu un appelé circuit divisé du cavalier: d'abord le chemin se trouve sur une moitié de l'échiquier, puis il se double symétriquement, et les deux chemins se lient ensemble.

Évidemment, et se circuit du cavalier est fermé: sur le diagramme les centres des chacunes cases voisines sont liés par un bout de droite, et nous obtenons une ligne fermée.

Si parler des graphiques comme ça des circuits du cavalier sur l'échiquier, alors il est intéressant, qu'il a été inventé beaucoup de ses circuits incroyables, qui représentent des signes divers et des lettres (par exemple, même la lettre N - le circuit, dédié à Napoléon). Voici deux exemples de spectacle de ce type.

Le graohique du premier circuit reppelle un le vase, et le graphique du deuxième est comparable à une fleur, les parts qui sont disposées en haute puissance symétriquement.

Dans les mathématiques préoccupantes on s'intéresse souvent au circuits du cavalier non seulement sur un échiquier habituel, masi aussi sur des différents échiquiers carrés ou rectangulaires. Il est prouvé, par exemple, que n'importe quel échiquier n*n du côté plus de cinq (n>5) le cavalier est aussi capable de contourner en passant par toutes les cases une fois.

On peut regarder non seulement des échiquiers de tailles différentes, mais aussi de modifier un peu le coup du cavalier.. Un cavalier habituel va sur une case en long d'une ligne et de deux en long d'une autre, c'est-à-dire c'est une pièce (1, 2). Et la pièce (a, b) fait un saut sur a cases dans une direction et sur b dans une autre. Avec a=1, b=2 - c'est un cavalier habituel, avec a=1, b=3 - un chameau, il se déplace en correspondant sur une case et trois en long des lignes. Il n'est pas difficile d'être sûr, que le chameau est une pièce de même couleur, comme un fou d'échecs. Plus bas on verra des problèmes de chameau, et aussi on amènera le circuit de cet incroyable animal d'échecs sur toutes les cases d'une même couleur de l'échiquier. Par contre la question suivante apparaît.

Avec quels a et b existe-il un circuit de pièce (a, b) sur toutes les cases de l'échiquier?

Le problème n'est pas très simple, et pour cela on va amener la réponse: un des nombres a et b doit être pair, et l'autre impair, et en plus, a et b doivent être simples.

Problème sur le cheval d'Attila. Sur l'échiquier se trouvent deux pièces - le cavalier blanc et le roi noir. Certaines cases sont annoncées "brûlantes". Le cavalier doit venir jusqu'au roi noir, le retourner et revenir sur sa place initiale. Avec cela, il lui est interdit d'occuper les cases "brûlantes" et celles qui sont traversées.

"L'herbe ne pousse pas là-bas, où a marché mon cheval!" - se vantait le chef des Huns Attila, en voulant dire, que ses bandes sous ses commandes tuent tout ce qui est vivant sur leur passage.

Sur le dessin de gauche le cheval d'Attila est disposé sur g4, et le roi adverse - sur b3, les cases "brûlantes" sont coloriées.

En liant avec les bouts les centres des cases accessibles au cavalier, entre lesquels un coup est possible, on obtient un appelé graphe du cavalier pour le problème donné (les sommets de ce graphe correspondent au cases de l'échiquier). En résultat l'affaire se finit en trouvant dans ce graphe (ou graphique) un tel chemin, lequel ne contient aucun sommet plus d'une fois et, à part cela, passe entre les deux sélectionnées.

Les méthodes de résolution des problèmes comme ça, appelés labyrinthiques, sont bien connus. De toute façon, pour le cheval d'Atilla le chemin le plus court n'est pas difficile à trouver, et en moyenne, il contient 18 coups: Cg4-f6-e8-g7-e6-f8-g6-e7-c6-a5xb3-d2-b1-a3-b5-d6-f7-h6-g4.

Pour l'atteinte de la cible le cavalier a du être sur 18 cases sur 35, non brûlées au début du combat. Dessus il est facile d'être sûr, en regardant le graphique de son chemin sur le dessin à droite.

Entrons encore une notion. Un chemin sans intersection de la pièce sur l'échiquier, souvent, un circuit sur toutes ses cases, s'appelle comme ça, dont le graphique n'a pas d'intersection (et d'attouchements). Il est évident, que tous les graphiques vus dessus sont - avec des intersections, ils sont trop longs...

Quel est le plus long au nombre de coups le chemin du cavalier sans intersection sur l'échiquier?

Le chemin le plus long contient 35 coups.

Il est curieux, qu'il a été trouvé dans les années 70 en même temps par deux ordinateurs - un américain et un allemand. Le casse-tête a été vu en long et en large pour des différents échiquiers et des records ont été installés. A peu près, aucun des humains en résolvant le problème n'a pu trouver le chemin du cavalier sur un échiquier 6*6, contenant plus de 16 coups. Et de nouveau le record a été installé par une machine! Voici un chemin de 17 coups proposé par elle d'un cavalier sans intersections.

Il reste à dire, que le cavalier - est un participant actif dans beaucoup de problèmes d'échecs incroyables, et il est tôt pour nous de lui dire adieu, les casse-têtes avec la participation du cavalier ne se rencontreront pas qu'une seule fois dans le livre.