4 La maladroite tour

La tour est - une pièce sévère, de lignes droites, et ce n'est pas par hasard qu'elle est si populaire dans les casse-têtes, liés avec des différents comtes. ET des fois la tour avec ses trajectoires précises tout à coup est utilisée en qualité de modèle de problèmes mathématique dur.

Disons qu'il est demandé n ouvriers pour n travaux différents, et en plus chaque travail doit se faire par un ouvrier. Avec combien de possibilités on peut faire cette nomination?

C'est un problèmes connu en mathématique sur les nominations. Mais pourquoi ici les échecs, pourquoi ici les tours? Il se révèle, une liaison étroite. Mettons en correspondance avec les ouvriers - les rangées de l'échiquier n*n, et aux travaux - ses colonnes. Si l'ouvrier i est nommé au travail j, alors à l'intersection de la rangée i et la colonne j on disposera une tour. Comme chaque travail se fait par un ouvrier et chaque ouvrier est nommé à un travail, alors en résultat toutes les rangées et colonnes contiennent une tour chacune, c'est-à-dire les tour ne s'entre menacent pas. Voilà, au problème mathématique on peut donner une formulation d'échecs.

Avec combien de possibilités peut-on placer sur un échiquier n*n n tours paisibles?

Devant nous une des dispositions indispensables des huit tours sur un échiquier ordinaire. Éclairons, combien en tout existe de dispositions de n tours sur un échiquier n*n. Sur la première colonne on peut mettre une des n tours, sur la seconde des (n-1) qui restent, de plus la rangée, occupée par la première tour est exclue, sur la troisième colonne - une des (n-2) qui restent (deux rangées sont exclues) etc., jusqu'à (n-1)éme colonne, sur laquelle reste le choix de deux possibilités, et la dernière, néme colonne, avec la seule case libre pour la tour. En combinant n dispositions de tour sur la première colonne de (n-1) - sur la seconde, (n-2) - sur la troisième etc. on obtient:

n(n-1)...2*1=n!

des dispositions différentes. Ce nombre se révèle celui qui est cherché. Il ya autant de variantes, pour nommer n ouvriers à n travaux.

Maintenant retournons vers l'échiquier. Il est évident, que le plus grand nombre de tours paisibles, comme et de dames, est égal à huit. Par contre, comter le nombre de dispositions, même dans un cas général, se réussit vraiment simplement. Huit tours, qui ne s'entre menacent pas, peuvent être disposées par 8!=40320 possibilités.

Et comment vont les affaires avec les tours-gardiennes? Il est évident, que leur nombre est égal aussi à huit. Si il y a moins de tours, alors au moins une colonne et une rangée seront vides et, donc, la case de leur intersection ne serait pas attaquée. La disposition amenée en haut es tours paisibles, marche aussi pour le contrôle de tout l'échiquier.

Avec combien de possibilités on peut disposer huit tours d'en sorte, pour qu'elles tiennent sous le tir toutes les cases (et libres et occupées)?

Et ce problème au compte on va résoudre dans le as général - pour l'échiquier n*n.

Si n tours gardent l'échiquier, alors soit sur chaque colonne, soit sur chaque rangée se trouve au moins une tour (si il y a une colonne et une rangée de libres, alors la case de leur intersection n'est pas attaquée). Le nombre de dispositions - une par chaque colonne - est égal à nⁿ, (la première on peut mettre sur une des n cases de la seconde colonne etc.). Il y a autant aussi de dispositions et chacune sur une rangée. En tout on obtient de dispositions de tours nⁿ+nⁿ=2nⁿ. Mais avec un compte comme ça des dipositions comptent double, où sur chaque colonne et et rangée se trouve une tour chacune. Dans ces dispositions les tours ne s'entre menacent pas, et leur nombre, comme nous savons, est égal à n! La réponse finale 2nⁿ-n!

Le nombre de dispositions des huit tours, qui tirent sur un échiquier ordinaire, est égal à 2*8⁸-8!=33514312.

Voilà, avec les tours paisibles et les tours-gardiennes tout est clair. Dans le prochain casse-tête les tours peuvent d'entre menacer, mais plus qu'une menace n'est pas autorisée.

Quel est le plus grand nombre de tours peut être disposé d'en sorte, pour que chacune d'elles se trouve sous le coup de pas plus qu'une des autres?

Il n'est pas difficile de prouver, que plus de dix tours, qui ont la propriété indiquée, est imossible de disposer. Et comment disposer exactement dix tours, est indiqué sur le diagramme.

Sur les 64 cases de l'échiquier sont écrits de suite les nombres de 1 à 64: sur la première rangée de gauche à droite de 1 à 8, sur la seconde de 9 à 16 etc. Mettons sur l'échiquier huit tours paisibles. Quel significations peut avoir la somme des nombres sur les cases, occupées par les tours?

Le nombre, se trouvant sur la colonne i et la rangée j peut-être écrit comme ça: i+8(j-1)(i, j=1, 2, ..., 8). Puisque les tours ne s'entre menacent pas, sur chaque colonne se trouve exactement l'une d'elles. Donc, la somme cherchée est égale à (1+2+...+8)+8(0+1+...+7)=260 (le nombre magique!) et n'est pas dépendant d'une disposition concrète des tours.

Maintenant tour aux - voyages de la tour sur l'échiquier. Devant vous deux circuits, un ouvert et un fermé. Dans le premier la tour fait 14 virages, et dans le second - 15.

Quel est le plus petit nombre de virages peut faire la tour en contournant tout l'échiquier?

La tour doit aller au moins une fois en long de chaque colonne ou en long de chaque rangée (si elle ne s'est pas déplacée le long d'une colonne, alors elle est passée par sa chaque case en travers, c'est-à-dire en long de chaque rangée). Disons que la tour se déplaçait le long de toutes les colonnes. Sur n'importe quelle d'elles, à part, peut être, deux, où commence et finit le circuit, la tour doit entrer et après le déplacement en long d'elle sortir. Avec ça l'entrée et la sortie est lié avec les virages. D'en sorte, le nombre général de virages n'est pas plus petit, que 2(8-2)+1+1=14. Donc le circuit montré à gauche est - le "moins virageux". Comme le nombre de coups de la tour à un est plus grand que le nombre de virages, le chemin le plus rapide de la tour contient 15 coups. Il se révèle ouvert, et dans le circuit fermé il y a 16 coups.

Quel est le plus grand nombre de virages peut faire la tour en contournant tout l'échiqier?

Le nombre le plus grand de virages est quatre fois plus grand que le plus petit!

Dans le circuit donné la tour fait 56 virages. Et n'arrivera pas à plus.

Les deux prochains problèmes portent un caractère plus réaliste, presque d'échecs. Seulement les échiquiers ne sont pas vraiment de tailles ordinaires. D'abord l'échauffement...

Gain

Le problème semble être drôle, mais il y a une consigne supplémentaire - la tour peut faire un coup seulement, quand elle annonce le mat.

1. Rg2! L'opposition est conquise, le reste est simple. 1...Rg7 2. Rg3! Rg6 3. Rg4! Rh6 4. Rf5! Jusqu'à maintenant le roi ne pouvait pas se mettre devant la tour, parce que son adversaire sortait en liberté de suite grâce à la ligne "f". Maintenant cette possibilité est arrivée, et les blancs réalisent une manœuvre contournante.

4...Rg7 (4...Rh5 5. Th1#) 5. Rg5! Rh7 6. Rf6! Rg8 7. Rg6! Rh8 8. Tf8#.

Une position simple, mais une variante plus maline a été inventée par un mathématicien américain L. Mozer. De nouveau on seulement trois pièces.

Gain

Sur un échiquier, non limité des deux côtés (sur le diagramme il n'y a pas les bords de droite et du haut), les blancs font mat au roi noir avec la même consigne: la tour rentre dans le jeu seulement au dernier moment - pour annoncer le mat.

Et ici la clé vers la solution - l'opposition. En manœuvrant finement, le roi blanc conduit son adversaire dans le seul coin de l'échiquier, après quoi la tour entre en bataille - Tc16-a16#.

1. Rc15! Le coup unique. Disons que le roi noir se déplace sur la colonne de bord. 1...Ra9 2. Rc14 Ra10 3. Rc13 Ra11 4. Rc12 Rb10. Il ne faut pas aller plus haut - 4...Ra12 5. Ta16#. 5. Rb12. L'opposition proche! 5...Ra10 6. Rc11! Les rois se sont décalés une verticale plus bas, la suite est comprise.

Si en premier coup le roi se met sur la ligne "b" - 1...Rb9, alors résout 2. Rb15!, en occupant l'opposition lointaine. 2...Rb10 3. Rb14! Rb11 4. Rb13! Ra11 5. Rc12! etc. Sur 2...Ra9 suit 3. Rc14! - avec le roi noir sur la verticale de bord le roi blanc peut se permettre de se mettre sur la même ligne que la tour. 3...Rb10 4. Rb14! etc. Un exemple remarquable sur le thème de l'opposition.

Il est intéressant, que après l'entrée plus logique 1. Rc14? le gain est déjà perdu - 1...Ra9 2. Rc13 (2. Rb13 Rb9, et les noirs règnent sur l'opposition) 2...Ra10 3. Rc12 Ra11 4. Rc11 Ra12. Le roi noir est invulnérable.

Encore un problème plus original sur un échiquier illimité des deux côtés et avec la même correspondance de forces a inventé un autre mathématicien américain S. Norton.

Gain

Cette fois-ci le deux côtés se déplacent avec les mêmes règles. A première vue le problème semble infaisable, puisque le roi noir s'échappe au nord ou à l'est. Si la tour ne le dérange, il s'approche d'elle, la chasse de la place, et une des deux directions se révèle libre. Et quand même les blancs atteignent la cible, en plus en ne faisant pas sortir le roi des limites du rectangle 9*11!

Voici le plan du mat et les trajectoires des déplacements des toutes les trois pièces.

1. Te2! Rd4. Après 1...Rd3 2. Te11! les noirs perdent seulement l'allure en comparaison de la variante de base. 2. Rb2 Rd5 3. Rc3 Rd6 4. Rd4 Rd7 5. Te11! Rd8 6. Re5 Rd9 7. Rf6 Rd10. Comme si, les efforts ne sont pas finis avec réussite - la tour doit partir, en laissant la route au roi noir. Mais les blancs sont arrivés à la cible importante - ils ont lancé leur roi plus à droite que la tour, et maintenant leur deux pièces participent à l'encerclement. 8. Ti11! Re10. Il reste au roi de courir à l'est, mais il n'ira pas loin. 9. Rg7 Rf10 10. Rh8 Rg10 11. Ri9! Le roi noir est coupé sur les deux directions. L'affaire est arrivée à un mat ordinaire sur l'échiquier. Trois pièces d'échecs ont joué un joyeux spectacle d'échecs.