3 La dame-puissante
Si le cavalier est - la pièce la plus maline des échecs, alors la dame est - la plus puissante d'elles sur l'échiquier. Les possibilités de la dame sont très immenses, et dans le domaine des casse-têtes, elle se concurrence sérieusement avec le cavalier.
Peut-elle la dame, d'envoyer le roi du coin bas gauche au haut droit sur un échiquier 3*4?
Chassons d'abord le roi dans le coin proche de l'échiquier - de a1 à a3. 1. Dd2 Rb1 2. Dc3 Ra2 3. Dc1 Rb3 4. Dd2 Ra3 - la cible rapide est atteinte. Il est plus difficile de convaincre le roi d'occuper le coin opposé. 5. Dc3+ Ra2 6. Dc1 Rb3 7. Da1 Rc2 8. Da2+ Rc3 (8...Rc1 "perd" plus rapidement: 9. Db3 Rd2 10. Db1 Rc3 11. Da2 Rd3) 9. Db1 Rd2 10. Db2+ Rd1. La position symétrique à l'initiale est arrivée, mais maintenant il faut envoyer le roi dans le coin proche, ce qu'on sait faire déjà. 11. Da2! Rc1 12. Db3 Rd2 13. Db1 Rc3 14. Da2 Rd3, et le roi est dans le bon coin. Il a été attendu, que les blancs gardent leur dame, sinon la résolution est plus courte d'un coup: 10. Dd3+! Rc1 11. Db3 Rd2 12. Db1 Rc3 13. Da2 Rd3.
Avec la façon analogique le roi peut être envoyé de la même façon sur un échiquier rectangulaire m*n. Mais, ce qui est étonnant, sur les échiquiers carrés, l'habituel compris, envoyer le roi sur les cases du coin, près de celle du départ, est impossible. Le roi se promène entre deux coins opposés de l'échiquier, et la dame n'est pas capable de le distraire de cette trajectoire.
Le casse-tête du caractère plus réaliste, où la dame blanche doit aussi envoyer le roi noir (sans l'aide du sien!) dans un des coins de l'échiquier, s'appelle le problème sur le roi intouchable. Puisque l'ordinateur la réussie avant l'homme, nous avons résolu de la mettre dans l'histoire, comment les ordinateurs résolvent les casse-têtes ("Le robot-cavalier!").
Sur l'échiquier deux dames blanches et un roi noir. En combien de coups les blancs peuvent-ils faire mat?
Encore un problème, illustrant les possibilités illimitées de la dame-puissante. Il se révèle, que n'importe quels grandeurs ait l'échiquier - même si il est infini! - et comme ne se trouvaient les pièces au début, le mat se donne pas plus tard que le quatrième coup.
Le premier coup - un échec, disons, sur la colonne. En réponse du recul du roi sur une des lignes voisines avec le second coup l'autre dame, avec l'aide de la première, coince le roi sur deux colonnes.
Maintenant sur n'importe quel déplacement du roi suit un échec horizontal et le mat le coup prochain, par exemple: 2...Re4 3. Dc4+ Re5 (e3) 4. Dff4#.
Problème des les huit dames. Avec combien de possibilités est-il possible de disposer sur un échiquier huit dames d'en sorte, pour qu'elles ne s'entre menacent pas, c'est-à-dire aucune deux ne se trouvaient sur une colonne, une rangée et une diagonale?
C'est un des casse-têtes des échecs les plus connus. Si Leonardo Euler s'occupait du problème du coup du cavalier, alors le problème des huit dames au milieu du XIX siècle a attiré un autre grand mathématicien - Karl Gauss. Le fait est, que, en résolvant un problème proprement arithmétique, il a tout à coup trouvé sa liaison avec ce casse-tête des échecs.
Il est évident, que plus de huit dames, ne se menaçant pas, il est impossible de placer (au moins sur une colonne et une rangée il aura pas moins que deux). Et trouver une réponse comme ci ou comme ça n'est pas difficile: quatre dispositions sont montrées.
Il est plus difficile de compter le nombre de solutions, en quoi, personnellement, consiste le problème. A peu près, que Gauss lui-même n'a pas pu trouver le nombre, et seulement plus tard il a été prouvé, qu'il existe en tout 92 dispositions de huit dames "paisibles".
Entre les 92 solutions on peut sélectionner 12 principales les autres se font avec l'aide de retournements et reflets miroir de l'échiquier. Voici un des ensembles des dispositions principales:
1) a;
2) b;
3) a4, b1, c5, d8, e6, f3, g7, h2;
4) a4, b2, c5, d8, e6, f1, g3, h7;
5) a4, b2, c7, d3, e6, f8, g1, h5;
6) a4, b2, c7, d3, e6, f8, g5, h1;
7) a3, b5, c2, d8, e6, f4, g7, h1;
8) a4, b1, c5, d8, e2, f7, g3, h6;
9) a4, b7, c3, d8, e2, f5, g1, h6;
10) a6, b4, c2, d8, e5, f7, g1, h3;
11) a4, b8, c1, d5, e7, f2, g6, h3;
12) a4, b2, c7, d5, e1, f8, g6, h3.
Les autres 80 dispositions se font avec celles avec les aides des retournements et de reflets de l'échiquier. Par exemple, de a avec le retournement de l'échiquier à 90 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre apparaît c, et avec le reflet du miroir (par rapport à la ligne pointillée verticale) - d. Les nouveaux retournements et reflets de l'échiquier donnent encore cinq dispositions, c'est-à-dire en comptant celle du départ - huit.
Analogiquement les autres dispositions principales aussi dans la difficulté générale donnent huit; l'exception pour la "position" symétrique b - elle donne encore une disposition en tournant l'échiquier et deux se font en reflet, en tout - quatre. Voilà, en tout sur l'échiquier on a 11*8+1*4=92 dispositions des huit dames qui ne s'entre menacent pas.
Chacune des dispositions des dames paisibles a des propriétés comme ci ou comme ça, disons, dans a aucune des trois dames ne se trouve sur une droite, passée par les centres des cases 'on parle de non seulement les droites parallèles aux colonnes, rangées et diagonales de l'échiquier, mais aussi avec un autre sens). La disposition b se différencie par une symétrie externe, et aussi l''absence de dames dans le centre de l'échiquier et sur les grandes diagonales.
Avec un jeu intéressant, qui a une correspondance directe au problème des huit dames, on rencontrera dans l'histoire "Le robot-cavalier!" - le récit va parler des casse-têtes, que les ordinateurs résolvaient avec réussite.
Dans la littérature divertissante populaire il y a un casse-tête plus général - à la disposition de n dames paisibles sur un échiquier n*n. Sur les échiquiers 1*1 et 2*2 on peut mettre une dame. Ce qui concerne les autres échiquiers carrés (n>2), il prouvé, que sur n'importe quel échiquier n*n on peut disposer n dames non s'entre menaçantes. Le nombre de solutions dans un cas général est inconnu. A propos, de nombreux problèmes sur un échiquier habituel, vus dans le livre, se formulent facilement pour les échiquiers n*n, mais nous ne ciblons pas vers des généralisations, pour ne pas transformer le livre en un livre de problèmes de mathématiques...
Disposer 16 dames d'en sorte, pour que sur chaque colonne, rangée et diagonale il n'y en avait pas plus que deux d'elles.
Voici la disposition indispensable. Un nombre plus grand de dames, en respectant la consigne du problème, est évidemment, impossible de disposer.
Disposer 16 dames d'en sorte, pour qu'aucune trois d'elles ne se trouvent sur une ligne.
En différence du problème précédent, ici le récit ne parle pas de lignes d'échiquier ordinaires, mais de n'importe quelles droites, passant par les centres des cases. Huit dames paisibles on avait déjà disposé d'en sorte (disposition a dans le problème des 8 dames). Il se révèle, on peut en placer sur l'échiquier deux fois plus - 16, qui, bien sûr, ne sont pas paisibles.
Sur un des concours à la création des problèmes d'échecs mathématiques le prochain casse-tête a gagné.
Disposer 10 dames blanches et 9 dames noires d'en sorte, pour qu'aucune d'entre elles, ne se trouve sous le coup de l'ennemie.
L'auteur de la position V.Franguen à part cette disposition a trouvé aussi une autre. Pour l'avoir, il faut enlever de l'échiquier la dame blanche de e2 et ajouter une noire à h5, après quoi changer les couleurs de toutes les dames. Franguen disait, qu'il existe que ces deux solutions (les retournements et les reflets du miroir de l'échiquier, comme d'habitude, ne comptent pas), en plus dans les deux les dames forment, comme les joueurs d'échecs disent, quatre "îlots". Mais presque dix ans après il fut rouvé principalement une autre solution.
Ici une dame blanche s'est séparée du groupe lié, et maintenant il y a cinq "îlots", et non quatre.
Plus bas on parlera de dispositions des autres pièces paisibles - tours, fous, cavaliers et rois. Les problèmes opposés au sens liés avec la disposition des pièces, attaquants toutes les cases libres de l'échiquier.
Problème des dames-gardiennes. Près de chaque chambre de prison on peut mettre un gardien. Se trouvant près d'une d'elles, le gardien voit, ce qui se passe dans les autres aussi, d'où vont les couloirs. Quel est le plus petit nombre de gardiens est-il demandé pour surveiller toutes les chambres?
Si regarder un échiquier comme une prison (les joueurs d'échecs nous pardonneront pour cette analogie), et en plus compter ses cases comme des chambres, et les colonnes, rangées et diagonales - des couloirs, alors il vaudrait mieux de nommer les dames gardiennes, qui mènent la surveilance dans toutes les directions. Avec cela le problème des gardiens obtient la prochaine formulation d'échecs.
Quel est le plus petit nombre de dames faudra-t-il disposer sur un échiquier d'en sorte, pour qu'elles tiennent sous le coup toutes les cases libres?
Cinq dames sont capables de se débrouiller avec la "prison" d'échecs, et quatre déjà ne suffiseront plus. En tout il y a 4860 dispositions de cinq dames-gardiennes. Voici une d'elles.
Les dames tiennent sous le champ de tir toutes les cases libres de l'échiquier, et ne s'entre menacent pas. Et sur le prochain diagramme les dames se trouvent sur la même diagonale, et, donc, tirent sur toutes les 64 cases de l'échiquier et non seulement les libres.
A propos des tours, fous, rois et cavaliers, qui contrôlent l'échiquier, le récit va en parler plus bas.
Placer huit dames d'en sorte, pour que le plus grand nombre de cases soit en dehors du champ de leur vue.
Le nombre cherché est 11, les cases non attaquées sont marquées par des points.
Placer le plus grand nombre de dames d'en sorte, pour qu'en enlevant n'importe laquelle apparaisse sur l'échiquier exactement une case non attaquée.
Ce casse-tête est lié avec le précédent par la réponse. On peut placer 11 dames de façon indispensable.
Placer le plus grand nombre de dames d'en sorte, pour que chacune d'elles attaquait exactement sur p d'autres dames.
Avec des différents p facticement se font des casse-têtes différents. L'énoncé p=0 veut dire, que les dames ne s'entre menacent pas, c'est-à-dire on arrive au problème classique, le nombre de dames est égal à huit.
Pour p=1 le plus grand nombre de dames est égal à 10 (position a). Sur l'échiquier sont rentrés cinq paire de dames "isolées" - chacune menace la dame de sa paire. Pour p=2 le nombre cherché de dames est égal à 14 (position b), pour p=3 - 18 (position c), pour p=4 - 21 (position d), pour p>4 le problème n'a pas de solutions.
Les casse-têtes sur les circuits sont intéressants pour toutes les pièces d'échecs, et non seulement pour le cavalier. La dame peut contourner l'échiquier en 15 coups (il ne lui est pas demandé de s'arrêter sur chaque case).
Si avec cela autoriser à la dame peut passer à côté de certaines cases deux fois, alors on peut économiser un coup. Le prochain circuit de la dame est en plus fermé.
Quel est géométriquement le plus long chemin dont le graphique n'est pas sécant, peut faire une dame en cinq coup, en commençant de d1?
C'est le chemin cherché de la dame. Mais plus souvent un autre est proposé.
Le nombre de cases dans le deuxième chemin est pour de bon plus (32>30), mais propre géométriquement ce chemin est plus court. Soyons sûr dans cela. En comptant la largeur de la case pour 1, pour le premier chemin on a:
d1=4+7√2 +7+6+5√2 =17+12√2;
d2=4+7+7√2 +7+6=24+7√2.
Alors, d1-d2=5√2 -7≈0,07, c'est-à-dire le premier chemin même même les centièmes, mais quand même plus long que l'autre.
En conclusion un casse-tête demi-blague.
Peut-elle la dame en quatre coups de faire le tour de toutes les cases de l'échiquier 3*3?
Devant vous le circuit de la dame cherché, qui a traversé toutes les cases du petit échiquier. Et le piège consiste en, que atteindre la cible est possible seulement en quittant deux fois l'échiquier 3*3.