5 Le roi non pressé et le fou entravé

Si le cavalier, la dame et la tour sont - des héros de beaucoup de problèmes incroyables sur l'échiquier, alors le roi et le fou sont de invités plus rares dans le monde des casse-têtes, et pour cela on a décidé de lier deux sujets en un. D'abord on va éclaircir, comment vont les affaires avec les rois et fous paisibles, et après on va vérifier leur rôles de gardiens.

Quel est le plus grand nombre de rois qu'on peur disposer, pour qu'il ne s'entre menacent pas?

Brisons l'échiquier en 16 carrés 2*2.

Si on veut, que les rois ne se touchent pas, alors dans chacun de ces carrés on peut placer pas plus d'un d'eux. Donc, plus de 16 rois est impossible de disposer. Exactement 16 rois peuvent être disposés avec 281571 possibilités.

Quel est le plus petit nombre de rois peut être disposé, pour qu'il tiennent sous le coup toutes les cases libres de l'échiquier?

Dans chacun des neuf rectangles, sélectionnés sur le diagramme (cinq d'eux sont des carrés), il y a une case, qui peut être attquée selement par le roi, se trouvant dans ce rectangle, de la suit, que le nombre cherché de rois est égal à neuf.

Quel est le plus grand nombre de fous peut être disposé, pour qu'ils ne s'entre menacent pas?

Traçons sur l'échiquier 15 droites diagonales. Si les fous ne s'entre menacent pas, alors sur chaque diagonale il ne peut pas être plus d'un d'eux. Puisque les droites traversent toutes les cases de l'échiquier, alors il n'y a pas plus que 15 fous. Mais deux lignes de bord contiennent une case chacune, et les deux sont disposées sur une diagonale a8-h1, et dessus peut se trouver un fou. La disposition record, contenant 14 fous, est montrée sur le diagramme.

Quel est le plus petit nombre de fous peut être disposé, pour qu'ils tiennent sous le coup toutes les cases de l'échiquier?

Pour cette cible il est suffisant de huit fous-gardiens. Montrons, que sur l'échiquier, il n'y a pas moins de quatre fous de cases blanches. Si ce n'est pas le cas, alors pas moins de cinq diagonales blanches, des huit marquées, sont libres de fous, et en plus au moins une d'elles contient plus de trois cases. Comme aucun des fous peut menacer à plus qu'un case de cette diagonale (dessus elle-même il n'y a pas de fous), et sur l'échiquier se trouveront des cases, se trouvant en dehors de la zone de l'action des fous, et cela ne nous convient pas. Analogiquement, on peut montrer, que sur l'échiquier il n'y a pas moins de quatre fous de cases noires. D'en sorte, que nombre général de fous-gardiens est égal à huit - ils sont sur le diagramme.

Maintenant envoyons les pièces en voyage sur l'échiquier. Comme d'habitude, est demandé, que toutes les cases le roi et le fou visitent une fois chacune. Il est clair, que le roi non pressé peut s'en servir du n'importe quel circuit de la dame ou de la tour, en se déplaçant dessus d'une allure plus lente. En 63 coups il contourne toutes les cases de l'échiquier.

Quel est le nombre le plus petit et le plus grand de coups diagonaux contient un circuit fermé sans intersection du roi?

Dans ce casse-tête audacieux de A. Khodoulev avec le nombre le plus petit de coups est clair: il est égal à 0, tous les 64 coups sont droits.

Et voici le circuit, dans lequel le roi fait 36 coups diagonaux (et 28 droits).

Soyons sûr, que 36 est le nombre le plus grand. Numérotons toutes les 28 cases limites de l'échiquier dans cet ordre, dans lequel le roi les visite dans le circuit donné. Brisons ce circuit en 28 propriétés: de la première case de bord jusqu'à la seconde, de la seconde jusqu'à la troisième etc. de la 28éme jusqu'à la première.

Montrons, que les cases du départ et d'arrivée de chacune de ses propriétés sont voisines. Disons que ce n'est pas comme ça, et les cases de bord d'une propriété ne sont pas voisines, par exemple a3 et a7.

Puisque le circuit est fermé, alors la case de départ et la direction du contournement peuvent être choisis arbitrairement. On va compter, que le roi commence de a7 et va vers a3. Puisque ces cases ne sont pas voisines, alors la propriété a7-a3 brise l'échiquier en deux parties. Prenons deux cases, qui appartiennent aux parties différentes, par exemple, a5 et b1. Le roi doit visiter ces cases, mais avec cela le chemin a5-b1 coupera le chemin a7-a3. Donc, le circuit du roi est sécant - contradiction.

Voilà, les cases de bord des 28 propriétés sont voisines, et puisque les deux voisins ont des couleurs différentes, sur chacune des propriétés le roi fait au moins un coup droit (avec les diagonaux la couleur ne change pas). Donc, le circuit du roi ne contient pas moins de 28 coups droits, c'est-à-dire pas plus des 36 autres.

Il est amusant, que si envoyer le roi sur un circuit fermé sans intersection, mais ne pas demander, qu'il visite toutes les cases de l'échiquier, alors le nombre de coups diagonaux peut s'agrandir.

Ici huit cases sont restées sans l'attention du roi, mais le nombre de coups diagonaux est agrandi jusqu'à 44. Est-ce qu'on peut battre ce record, il est inconnu à l'auteur.

Revenons aux voyages ordinaires - avec la visite de toutes les cases de l'échiquier. Jusqu'à là a été supposé, que le circuit du roi est fermé et sans intersection. Le grand maître de casse-têtes I. Akoulitch s'est intéressé à cette question: et quoi si refuser à une de ces demandes, ou même au deux?

Quel est nombre le plus grand de coups contient le circuit sans intersection du roi?

Ici le roi a fait 49 coups diagonaux. Chaque coup comme ça coupe le nœud de l'échiquier (le point commun des quatre cases voisines). En tout il y a 49 nœuds, et de passer deux fois sur le même sans intersection est impossible. Le circuit indiqué du roi est ouvert, mais les mêmes raisonnements sont bons pour le fermé.

Quoique dans le circuit ouvert, mais avec des intersections le nombre de coups diagonaux s'agrandit jusqu'à 56.

Essayez de prouver cela en suivant Akoulitch, et au passage éclircissez, existe-t-il un circuit fermé avec intersections du roi si long.

Et voici un jeu incroyable, aussi lié avec la promenade du roi.

Deux à leur tour déplacent un roi, se trouvant sur un échiquier. Le joueur, obligé de le mettre sur la case, que le roi a déjà visité, perd. Sur quel côté est le gain?

Celui qui commence, a la victoire. Pour cela en pensant il brise l'échiquier en rectangles 2*1 (avec la n'importe quelle méthode). Après en premier coup déplace le roi sur la case, formant la paire avec le roi (sur la seconde case du rectangle). Et plus loin sur n'importe quel coup de l'adversaire déplace le roi sur la case, formant la paire à celle, sur laquelle celui-là se trouve. De cette façon, après chaque paire de coups un rectangle est "exclu" du jeu. Et à la fin des fins, le second joueur doit occuper la case, que le roi a déjà visité.

Dans nos casse-têtes on essaye de ne pas quitter l'échiquier ordinaire 8*8. Mais dans certains cas il y a vraiment envie de le faire...

Roi-suicide. Sur un échiquier 1000*1000 se trouve le roi blanc et 499 tours noires. Prouvez, qu'avec n'importe quelle disposition de ces pièces le roi peut se mettre en échec, comme les noirs ne résistaient.

Envoyons le roi d'abord au coin bas gauche de l'échiquier, et après sur la grande diagonale noire en haut à droite. Après le coup Ra1-b2 et la réponse des noirs les trois rangées du bas et les trois colonnes de gauche doivent être libres es tours, sinon déjà le coup prochain le roi se met en échec. De cette façon, toutes les tours se trouvent plus haut et plus à droite que le roi. Disons maintenant que le roi a encore fait 999 coups sur la grande diagonale, et les noirs ont répondu à son dernier coup. En ce moment aucune des tours ne doit se trouver sur les trois rangées du haut et les trois colonnes de droite (sinon le roi à son coup se met en échec). Voilà, toutes les tours sont disposées plus à gauche et plus bas que le roi. Cela veut dire, que vers le moment donné chaque tour a fait pas moins que deux coups: a changé la colonne et rangée jusqu'à dessus arrive le roi. Mais il y a 499 tours et en 997 coups elles n'ont pas le temps de changer de place - il manque un coup!

Le roi se montrera du côté le plus incroyable dans les autres histoires, par exemple, dans "Les monstres" ou "Les trios et duos", et pour l'instant venons de nouveau vers les fous. Il est évident, qu'il est accessible au fou seulement la moitié des cases de l'échiquier, et c'est pour cela qu'on l'appelle entravé. Si se limiter aux cases de même couleur, alors les voyages du fou sur l'échiquier deviennent assez divertissants.

Le circuit de 17 coups a une vue assez symétrique, mais n'est pas le plus court. Le circuit le plus rapide du fou le long des cases blanches dans la relation esthétique lui cède - sur le graphique apparaissent "les points de retour", mais au moins il est plus court à un coup près.

Nous savons déjà, que la dame, la tour et le roi peuvent choisir un circuit sur l'échiquier comme ça (avec la visite de chaque case une fois chacune), dont le graphique n'a pas d'intersections (le circuit de la dame avec cela est plus long que le plus court à un coup près). Les pièces légères - le cavalier et le fou - se différencient par, que les graphiques de leurs circuits sont sécants.

L'ordinateur a découvert le circuit du cavalier le plus long sans intersections (voir histoire "Le robot-cavalier!"), contenant 35 coups, il englobe 36 cases. Et le circuit le plus long sans intersections du fou passe par 29 cases.

Sue la partie de cases blanches de l'échiquier seulement trois cases sont restées sans attention - a8, e8 et f1.

Voilà, à toutes les pièces d'échecs on a consacré les histoires des casse-têtes, liés à ces personnages. Et comment être avec le pion? Il ne lui est pas obligatoire de partager une place spéciale. Le pion peut se transformer en n'importe quelle pièce et en résultat devenir le héros d'un de nos sujets de casse-têtes. Et si parler sérieusement, alors il est consacré au pion pas mal de pages dans le livre, prenez au moins l'histoire "Paradoxes des pions". Donc dans les perdants il n'est pas resté.