1 Le carré magique et le domino
Dans les casse-têtes sur l'échiquier, l'affaire, comme règle, ne se fait pas sans participation des pièces. Mais l'échiquier est lui-même un objet préoccupant. Et c'est pourquoi l'histoire des casse-têtes on va commencer par l'observation de l'échiquier, sans mettre dessus pour l'instant aucune pièce.
Tout d'abord rappelons-nous une ancienne légende sur la création des échecs. Quand le tsar indien a connu le jeu pour la première fois, il était ébloui par sa façon et son habilité de belles combinaisons. Après avoir su, que le sage, qui a fait les échecs, était un de ses serviteurs, le tsar a voulu le gracier pour sa géniale invention. Le seigneur a promis de faire n'importe quelle demande du sage et a été étonné de sa modestie, quand l'autre a voulu en récompense seulement pas beaucoup de grains de blé. Sur la première case de l'échiquier il a demandé de mettre une graine, sur la seconde - deux, sur la troisième - quatre et cætera. Le tsar a ordonnée de donner rapidement à l'inventeur du jeu génial sa récompense de rien du tout. Mais le lendemain les mathématiciens nobles ont dit à leur seigneur, qu'il ne sont pas capables de faire la volonté du sage malin. Il a été, que pour cela non seulement le blé des granges de ce royaume ne serait suffisant, mais aussi dans les granges du monde entier. Le sage a modestement demandé
1+2+22+...+263=264-1
de graines. Ce nombre s'écrit en vingt chiffres et est fantastiquement grand. La grange pour garder la quantité de graines qu'il faut irait de la Terre au Soleil.
Puisque l'histoire a commencé de parler de l'histoire des échecs, alors amenons une hypothèse amusante, utilisant certaines propriétés de l'échiquier. En accord avec cette hypothèse, le jeu est arrivé à partir de carrés magiques.
Le carré magique forme en lui un tableau 8*8, complétée par des nombres entiers de 1 à 64 et ayant la particularité suivante: la somme des nombres de chaque horizontale, de chaque verticale et des deux grandes diagonales est la même et est égale à 260 (si le discours parle seulement des horizontales et des verticales, alors le carré - demi-magique).
Ici le carré magique est placé de suite sur le cases de l'échiquier. Une incroyable régularité de la disposition des nombres dans les carrés magiques leur donne une force magique de l'art. Ce n'est pas pour rien que le peintre connu allemand A. Durer a été tellement fasciné par ces objets mathématiques énigmatiques, qu'il a fait un carré magique dans sa gravure connue "La mélancolie".
Observons une des anciennes tabies d'ouvertures (position des pièces du départ) sous le nom d'almoudjannakh. Elle est faite de l'arrangement moderne après les coups symétriques suivants: 1. d3 d6 2. e3 e6 3. b3 b6 4. g3 g6 5. c3 c6 6. f3 f6 7. c4 c5 8. f4 f5 9. Cc3 Cc6 10. Cf3 Cf6 11. Tb1 Tb8 12. Tg1 Tg8, et on a la position sur le diagramme.
En comptant la somme des nombres, se trouvant sur les huit cases - d2, d3, e2, e3, d6, d7, e6, e7, participants dans les deux premiers coups, nous obtenons le nombre magique inattendu 260. Ce même résultat est donné par chaque paire de coups suivante. Des exemples comme ça (leur nombre est facilement grandissant) ont permis aux historiens de dire l'hypothèse sur la liaison des carrés magiques avec les échecs. Et la disparition de toutes ces traces de cette liaison ils ont expliqué par, que dans l'époque lointaine des superstitions et mysticismes les Hindous et Arabes antiques écrivaient aux combinaisons des chiffres des carrés magiques des propriétés mystérieuses, et ces carrés se cachaient complètement. C'est pour cela qu'on a inventé la légende du sage.
Et voici encore une légende. Un seigneur oriental était tellement un joueur artisanal aux échecs, qu'en toute sa vie a supporté seulement quatre pertes. En gloire de ses vainqueurs, quatre sages, il a ordonné de rentrer dans l'échiquier quatre diamants - sur ces cases, où son roi a été maté (à la place des diamants chez nous se trouvent les cavaliers).
Après la mort du seigneur son fils, un joueur faible et un despote cruel, a décidé de se venger des sages, qui ont battu le père. Il leur a ordonné de couper l'échiquier avec les diamants en quatre parties égales d'en sorte, que chaque avait un seul diamant.
Même si les sages ont exécuté l'ordonnance (sur le diagramme est montré un des découpages demandés), le nouveau seigneur les a quand même privé de vie, de plus, comme le dit la légende, pour la mort de chacun a utilisé sa partie avec le diamant.
Cet ancien casse-tête se trouve sur la base de toute la classe des problèmes populaires sur le découpage de l'échiquier. En disposant quatre cavaliers sur les différents cases de l'échiquier, on peut poser la même question.
Mais ce qui est intéressant non seulement la casse de l'échiquier en quatre parties égales - dans chacune un cavalier, mais aussi le décompte de possibilités pour le faire. Il est installé, que le plus grand nombre des différents découpages de l'échiquier - 800 - le casse-tête a avec les cavaliers, disposés dans les coins de l'échiquier.
Dans le casse-tête donné, comme dans les autres ressemblant, l'échiquier se coupe en long des frontières entre ses rangées et colonnes. Mais des fois cet énoncé ne se respecte pas.
Quel est le plus grand nombre de cases peut être coupé par un seul découpage?
Il est évident, que l'échiquier, ses 64 cases ses forment par l'intersection des 18 droites - neuf verticales et neuf horizontales. Avec chacune d'elles la droite-sécante peut se couper seulement en un point, et des quatre droites sur la frontière de l'échiquier - avec deux. Donc, en tout il n'y a pas plus de 16 points d'intersection, en coupant la droite-découpe en 15 bouts, enfermés à l'intérieur des cases.
Du dessin suit, que 15 en est le plus grand nombre de cases, qu'on peut couper par un seul découpage.
Combien de droites est-il indispensable de passer sur l'échiquier, pour traverser toutes ses cases?
Il est sûr, que huit droites suffisent - chacune en long de chaque colonne ou rangée. Mais il en vient, que sept découpes peuvent traverser toutes les 64 cases. Une des droites il faut faire passer presque en direction diagonale à travers le centre de l'échiquier, et six autres - dans les directions, presque perpendiculaires à elle.
On terminera le motif du découpage de l'échiquier par un paradoxe amusant.
Faisons quelques manipulations avec l'échiquier. Coupons-le en quatre parties, comme est montré à l'image dessous (les cases ne sont pas coloriées éxprés pour un peu embrouiller le lecteur), et faisons d'elles un rectangle - dessin en bas.
L'aire de l'échiquier est égale à 64, et l'aire du rectangle obtenu - 65 (dedans il y a 65 cases; pour le confort on a rétréci l'echelle). D'en sorte, pendant le découpage de l'échiquier de n'importe où est venue une case de trop!
La solution du paradoxe est, que le croquis n'est pas fait vraiment précis. Si le faire plus adroitement, alors à la place du rectangle, arrivera une figure losangée avec les côtés, qui sembleront liés. Son aire donnera cette case "de trop".
Et plus bas (dessin à gauche) il est demandé de compléter de suite trois problèmes: a) découper l'échiquier en quatre parties égales: b) mat le plus court trait aux blancs: c) mat le plus court trait aux noirs (problème aidé).
Résolutions: a) le découpage indispensable est montré sur le dessin; b) à leur coup les blancs font mat en 12 coups: 1. Fb4 Re5 2. Rd3 Re6 3. Rc4 Re5 4. Fc2 Re6 5. Fb3 Re5 6. Rc3 Re4 7. Fd6 Re3 8. Fd5 Re2 9. Rc2 Re1 (e3) 10. Fc5(+) Re2 11. Fc4+ Re1 12. Fb4#; c) à son coup le roi noir glissera - 1...Re7, et à la place du mat peut être seulement pat: 2. Fb4+ Re8. Mais si le problème est aidé (les noirs aident les blancs à faire mat), alors la cible est atteinte en 3 coups seulement. Rappelons, que, s'il n'est pas dit le contraire, dans le problème aidé commencent toujours les noirs. Alors, 1. Rd6 Rd4 2. Re7 Fb4+ 3. Re6 Fd5#.
Tour à la curieuse preuve du théorème de Pythagore.A porpos, MIkhaïl Tal a reconnu un jour, que quand à l'école on lui a montré cela sur l'échiquier, il a été choqué.
Dessinons sur l'échiquier un carré, dans le résultat de quoi il se coupe en cinq parties - le carré lui-même et les quatre triangles-rectangle égaux.
Et sur le prochain dessin devant nous les mêmes quatre triangles, mais à la place d'un carré - deux de longueurs plus petites. L'aire des triangles dans chaque cas est la même, donc, la même aire ont aussi les parties restantes de l'échiquier: dans le premier cas un carré, dans le second - deux. Puisque le grand carré est construit sur l'hypoténuse du triangle-rectangle, et les petits - sur leurs côtés, on déduit, que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de ses côtés.
Le théorème de Pythagore est prouvé!
Voici encore un casse-tête populaire sur l'échiquier.
Peut-on recouvrir avec les pièces de dominos 2*1 un carré 8*8, d'où sont coupés les cases du coin opposées?
Colorions le carré coupé en couleurs noir et blanc, en le transformant en échiquier sans cases du coin a1 et h8.
Pendant le recouvrement indispensable de l'échiquier chaque pièce du domino, en constatant, occupe une case blanche et une noire, et donc, tout le complet de pièces (en tout 31 pièces) recouvre le même nombre de cases blanches et noires. Mais sur notre échiquier coupé il y a deux cases noires de moins que de blanches (les deux cases coupées sont noires), et, par conséquence, il n'existe pas de recouvrement indispensable!
Voilà, le coloriage n'aide non seulement au joueur de s'orienter pendant le jeu, mais aussi de résoudre des casse-têtes incroyables.
"Joli, rien à dire!" - s'est écrié Garry Kasparov, quand il a rencontré la réponse et su, que ses couleurs préférées noir et blanc peuvent servie à d'autres cibles...
Dans le casse-tête vu il a été important non seulement, que les cases du coin sont disparues, mais aussi, qu'elles sont de même couleur. De nos discutions suit, que n'importe quelle paire de cases de même couleur peut être coupée, il est impossible de recouvrir le reste avec du domino.
Et ici sort une question évidente:
Si les cases de couleur différentes sont coupées, toujours est-il possible de recouvrir l'échiquier avec deux "trous" par 31 pièces du domino?
Il apparaît, que toujours. Voici une excellente preuve de cela. Faisons sur l'échiquier une ligne fermée, comme est montré sur l'échiquier.
Si des cases voisines sont découpées, alors la ligne déchirée sera faite d'un seul morceau, passant par 62 cases, et leur couleurs se suivent. En plaçant les pièces du domino en long de cette ligne, on recouvrira toute la partie de l'échiquier restante. Si les cases coupées ne sont pas voisines, alors la ligne va se déchirer en deux parties, et chacune d'elle sera facile de recouvrir par des pièces du domino.
Quel nombre minimal de cases faut-il découper, pour que l'échiquier troué obtenu ne soit recouvrable par aucune pièce du domino?
Il suffit de découper 32 cases de même couleur - soit le blanches, soit les noires, et il ne restera pas de place sur l'échiquier pour les dominos.
Comment recouvrir l'échiquier par les pièces de dominos, pour que dessus il ne soit possible de tracer aucune frontière entre le colonnes et les rangées, sans sectionner le domino?
Si imaginer, que l'échiquier - est un mur, et le domino - les briques, alors l'existence d'une telle frontière (suture) entre les colonnes et les rangées est témoin de la posée non solide. Donc, dans le casse-tête il est demandé de poser les "briques" d'en sorte, pour que le "mur" des échecs ne tombe pas. Le carré ou le rectangle, qu'il a été réussi de recouvrir avec le domino de cette façon indispensable, s'appelle solide.
Du dessin on voit, que l'échiquier est solide.
Les casse-têtes sur l'échiquier et le domino se trouvent dans la base de l'orientation de problèmes comme ça. Dans touts les cas à la place du domino on voit comme appelé des polyminos - pièces, constituées avec des carrés liés entre eux (ils peuvent tous être contournés par un coup d'une tour). Dans la dépendance du nombre des carrés, les polyminos se divisent: en monominos - un carré, dominos - deux carrés, triminos - trois carrés, tetraminos - quatre carrés etc. (les polyminos constituant plus d'un carré ont des formes différentes).
Il est sûr, que recouvrir un échiquier par des triminos droits 3*1, est impossible, car 64 n'est pas divisible par 3. Un casse-tête suivant apparaît.
Peut-on recouvrir un échiquier par 21 triminos et un monomino? Si on peut, alors quelles cases occupe le monomino?
Un des recouvrements est montré sur le dessin de gauche. Pour déterminer les places possibles pour le monomino on va tracer sur l'échiquier deux types de droites parallèles (dessin de droite). Il est facile de constater, que chaque trimino recouvre exactement une case par laquelle passe une ligne normale, et exactement une case par laquelle passe une ligne en pointillés. En tout de cases, traversées comme par des lignes normales, comme par des en pointillés, - 22, et triminos - 21. Donc, le monomino se trouve sur la case par laquelles passent une des droites normales et une des en pointillés. Mais il y a seulement quatre de celles - c3, c6, f3, f6, c'est-à-dire le monomino peut se trouver seulement dessus! En tournant l'échiquier à 90, 180 et 270 degrés, on obtient le recouvrement correspondant pour chacune de ces cases "malines".
Une des propriétés intéressantes de l'échiquier est, qu'elle a une géométrie non euclidienne. En d'autres termes, la distance dessus n'est pas vraiment habituelle, par exemple le chemin le plus rapide entre deux points ne se mesure pas toujours par une ligne droite. A ce thème sera entièrement consacrée l'histoire "Les paradoxes des pions". On sera sûr, que la somme des côtés d'un triangle-rectangle sur l'échiquier serait égale à l'hypoténuse!
Il reste à dire, que les échiquiers inhabituels se rencontrent sur les differentes pages du livre. Comme ça, dans la partie prochaine, il y aura des échiquiers cylindriques, toriques, et même zigzaguiques. Quoique, là-bas on leur accordera plus d'attention aux problèmes normaux des échecs dessus.
Et en conclusion de l'histoire observons un problème, dans lequel l'échiquier est un personnage quand même important et inattendu. Quoique, il n'est pas standard 8*8, mais de dimensions un peu plus petites.
S. Belokon, 1972
Nulle
L'échiquier à les dimensions 7*7, et ce n'est pas par hasard - le problème a été constitué spécialement pour le concours "Sportloto". Six pièces sur un échiquier de 49 cases symbolisent le choix de six numéros chanceux parmi 49 de possibles! La particularité de l'échiquier est vue dans la résolution.
1. Rb3 Fd3 2. Cc4+ Fxc4+ 3. Rxa3 b1C+! A l'apparition de la dame ou de la tour - pat.
4. Rb2 Fd3 5. Ra1! L'adversaire a réussi de garder les deux pièces légères, mais tous les coins de l'échiquier sont noirs et avec un fou de cases blanches il est impossible de faire mat! (Sur un échiquier normal le fou et le cavalier matent seulement dans le coin de la même couleur, que le fou.)