Родился в селе Меньково Псковской области в крестьянской семье.

С 1940 года в Красной Армии, с октября 1941 на фронте. В 1942 году окончил Подольское артиллерийское училище. К октябрю 1943 года – гвардии лейтенант, командовал артиллерийской батареей на Воронежском фронте. Отличился во время освобождения Украины.

19 октября 1943 г. батарея Михайлова участвовала в бою за расширение плацдарма севернее Киева на западном берегу реки Ирпень в районе села Кимерка Киевской области. Оказавшись в окружении, батарея отразила все немецкие атаки, уничтожив 5 танков, 2 штурмовых орудия, 2 бронемашины, более 100 солдат и офицеров противника, а с наступлением темноты прорвалась из окружения.

Во время Белорусской операции 1944 г. руководил действиями подчинённых ему артиллеристов. В бою у Острошицкого Городка Минского района группы воинов во главе с ним отрезала путь к отступлению вражеской колонне, отбила несколько контратак противника, нанесла значительный урон вражеской пехоте. Погиб в бою.

Похоронен в Минске на военном кладбище.

Именем Б. А. Михайлова названа улица в Советском районе. На доме № 1 установлена мемориальная доска (1976).

За образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство Указом Президиума Верховного Совета СССР от 10 января 1944 года гвардии лейтенанту Михайлову Борису Александровичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Михайлов Борис Александрович // Их именами названы... Улицы Минска : энциклопедический справочник / [редколлегия: В. В. Андриевич (главный редактор) и др.]. — Минск : Беларуская Энцыклапедыя, 2014. — С. 266.

Михайлов Борис Александрович // Герои Советского Союза : краткий биографический словарь : [в 2 т.] / Министерство обороны СССР, Главное управление кадров, Институт военнной истории, Центральный архив ; [А. А. Бабаков (руководитель) и др.] ; редколлегия: И. Н. Шкадов (председатель) [и др.]. — Москва : Воениздат, 1988. — Т. 2. — С. 92.

Михайлов Борис Александрович // Минск : энциклопедический справочник / Белорусская Советская Энциклопедия ; [редколлегия: И. П. Шамякин (главный редактор) и др.]. — Изд. 2-е, дополненное и переработанное. — Минск : Белорусская Советская Энциклопедия, 1983. — С. 270.