Родился в деревне Орловка Амурской об. (Россия) в крестьянской семье. После школы работал в колхозе. С 1939 г. жил и работал в городе Куйбышевка-Восточная (ныне Белогорск) Амурской области. В Великую Отечественную войну с июня 1941 на фронте. Отличился при форсировании Западной Двины Витебской области. В районе деревни Шарипино Бешенковичского района 25 июня 1944 г. командир отделения стрелкового полка 306-й дивизии 43-й армии 1-го Прибалтийского фронта сержант Веснин под сильным огнём противника в числе первых переплыл левый берег реки, захватил спрятанные врагом лодки и переправил их на правый берег для бойцов своего подразделения. Будучи раненым, уничтожил пулемётчиков, рассеял группу фашистов.

Погиб в бою за плацдарм.

Награждён орденом Ленина и медалью «За отвагу».

Похоронен в деревне Санники Бешенковичского района.

Именем Н. Д. Веснина в 1964 г. назван проезд в Заводском районе.

В Великую Отечественную войну с июня 1941 на фронте. Отличился при форсировании Западной Двины Витебской области. В районе деревни Шарипино Бешенковичского района 25 июня 1944 г. командир отделения стрелкового полка ЗО6-й дивизии 43-й армии 1-го Прибалтийского фронта сержант В. под сильным огнём противника в числе первых переплыл левый берег реки, захватил спрятанные врагом лодки и переправил их на правый берег для бойцов своего подразделения. Будучи раненым, уничтожил пулемётчиков, рассеял группу фашистов.

Звание Героя Советского Союза присвоено 22 июля 1944 года посмертно.

Веснин Николай Дмитриевич // Их именами названы... Улицы Минска: энциклопедический справочник / [редколлегия: В. В. Андриевич (главный редактор) и др.]. — Минск: Беларуская Энцыклапедыя, 2014. — С. 68.

Веснин Николай Дмитриевич // Герои страны: Международный патриотический интернет-проект [Электронный ресурс]. — Режим доступа: URL: https://warheroes.ru/hero/hero.asp?Hero_id=295. — Дата обращения: 18.10.2023.

Веснин Николай Дмитриевич // Минск: энциклопедический справочник / Белорусская Советская Энциклопедия; [редколлегия: И. П. Шамякин (главный редактор) и др.]. — Изд. 2-е, дополненное и переработанное. — Минск: Белорусская Советская Энциклопедия, 1983. — С. 119.