Fermifragen sollen zeigen, dass wache Zeitgenossen durchaus auch ohne Hilfe von genauem Datenmaterial zu stimmigen Schätzungen kommen können.
Eine humorvolle Einführung in das Prinzip der Fermi Fragen kann man über den beiliegenden Link "Fermi-Fragen" aufrufen. Die Beispiele beziehen sich da zwar auf Bibliotheken und Bücher, sie können aber leicht auf ökologische Themen übertragen werden.
Am 1. Oktober 2023 beobachteten wir auf der Terrasse des Männdlenen Berghauses (2344 m.ü.M) im Berner Oberland einen lockeren und steten Zug von Admiralfaltern, die über den Pass zogen. Wir stellten uns die Frage, wie viel Nektar der Admiralfalter zu sich genommen haben muss, um die knapp 2000 m Höhendifferenz vom Brinzersee (564 m.ü.M) bis zur Passhöhe mit eigenen Kräften zu überwinden. Auf der Strecke blüht zu dieser Jahreszeit nur noch sehr wenig. Nektarauftanken unterwegs ist deshalb kaum möglich.
Lösungansatz: Wir beachten nur die Energie, die nötig ist um die Höhe zu überwinden, die Vorwärtsbewegung lassen wir ausser Acht, die Mithilfe aufsteigender Luftmassen ebenfalls. Der Einfachheit halber gehen wir von einer Höhendifferenz von 2000 m aus.
Annahmen:
Ein Admiralfalter wiegt in etwa 1 g (Literatur so zwischen 0.5 bis 1 g)
Nektar besteht zu etwa 50 % aus Zucker (grosse Schwankungen sind möglich 8 % bei Kaiserkrone und 76 % bei Dost)
Der Energiegehalt von Zucker beträgt etwa 500 kcal pro 100 g (Genauer Wert für Saccharose: 387 kcal pro 100 g)
1 kcal entspricht ungefähr 4 000 Joule, (genau 4187 Joule)
Abschätzung:
Lageenergie, die aufgebracht werden muss: E = m x g x h = 0.001 kg x 10 m/sec2 x 2000 m = 20 Joule
20 Joule sind aber in 1 mg Zucker enthalten (5 x 4000 J = 20`000 Joule pro Gramm Zucker)
Das entspricht etwa 2 mg Nektar und damit auch etwa 2 ml (Zuckergehalt des Nektars 50 %)
Nach wie viel Generationen sind die Nachkommen eines Mauspaars bei unbeschränktem Nahrungsangebot so schwer wie die ganze Menschheit?
Annahmen:
Annahme 1: Ein Mäusepaar habe immer nur einen Wurf und sterbe danach. Die Wurfgrösse betrage 8 Nachkommen, also 4 Mäusepaar (Mäuse haben durchschnittlich 6 - 8 Jungen pro Wurf)
Annahme 2: Jedes Mäusepaar sei unsterblich und produziere fortwährend weiter Nachkommen. die Wurfgrösse sei ebenfalls 8 Nachkommen (4 Paare).
Annahme 3: Jedes Mäusepaar lebe nur 2 Jahre, bei durchschnittlich 5 Würfen pro Jahr sind insgesamt 10 Würfe pro Paar.
Masse aller Mäuse zusammen: Bei einer vermuteten Gesamtzahl an Mäusen weltweit von 10 x 109 Mäusen und einem Durchschnittsgewicht der Mäuse von 25 g ist das weltweite Gesamtgewicht 250 x 106 kg
Masse aller Menschen zusammen (2022): Bei 7.9 x 109 Menschen und einem Durchschnittsgewicht von 62 kg ergibt dies 487.8 x 109 kg
Antwort bei Annahme 1:
Ohne mathematisches Rüstzeug: Zuerst bestimmt man die Anzahl nötiger Mäusepaare (Gewicht der Menschheit / Gewicht eines Mauspaares = 487.8 x 109 kg / 0.05 kg ≈ 1013 Mäusepaare). Jetzt schätzt man ab, welche Hochzahl von "4" ungefähr 1013 ergibt: Erste Schätzung: 21 Generationen.
Mit mathematischem Rüstzeug: Die Anzahl der Paare folgen den Gesetzen einer geometrischen Folge: M = qn , da M = G / m (q = Anzahl Paare pro Wurf; n = Anzahl Generationen; G = Gewicht der Menschheit, m = Masse eines Mäusepaares (50 g; M = Anzahl Paare nach n Generationen) ist der Wert für die Anzahl Generationen mit der folgenden Formel einfach zu bestimmen:
n = log (G/m)/ log q = log (487.8 *109)/ log (4) = 21.6 Generationen
Antwort bei Annahme 2:
Ohne mathematisches Rüstzeug: Es stellt sich die Frage, ob die vorangegangenen Generationen bei einem Vermehrungsfaktor von z.b. 5 überhaupt grossen Einfluss haben können auf das Ergebnis. Eine einfach Überlegung zeigt, dass dies nicht der Fall ist: Nach 5 Generationen gäbe es ohne Summenbildung 625 Mäusepaare. Wenn die vorangegangen Generationen weiterleben würden, kämen 156 Paare dazu. Der Anteil wäre also nur etwa mehr als ein Viertel der Anzahl Mäusepaare der letzten Generation. Zählt man also die vorangegangenen Generationen zu den neuen Nachkommen dazu (625 + 156) so erhöht sich zwar die Anzahl Mauspaare um ein viertel, aber eben nicht um mehr. Der Einfluss der wachsenden Folgegeneration ist also ungleich grösser als die Summe der Tiere der vorangegangenen Generationen. Das Gewicht der Menschheit wird also nur unwesentlich schneller erreicht.
Mit mathematischem Rüstzeug: Wenn alle Generationen erhalten bleiben, müssen die Mäusepaare jeder Generation zusammengezählt werden. Die Summenformel für geometrische Folgen lautet:
sn = a0 * (qn+1-1)/(q-1); sn = Summe aller Werte bei n Generationen (bei uns 9.75 * 1012 Mäusepaare ); a0 = Anfangswert (1 Mäusepaar) q = Vermehrungsfaktor (bei uns 4): In unserer Rechnung ist der Wert n gesucht. Die Formel muss also nach n aufgelöst werden. Da bei uns a0 = 1 fällt dieser Wert weg. die Umrechnung ergibt:
n = (lg (sn * (q-1) +1)/(lg (q)) -1 : für unser Beispiel gibt dies 18.44 Generationen, die im Gegensatz zu 18.58 Generationen bei Verlust der Elterngeneration
Antwort bei Annahme 3:
Bei dieser Annahme muss die Elterngeneration zu der nachfolgenden Generation dazu gezählt werden: Bei 4 Nachkommenspaaren pro Elternpaar erhöht sich der Vermehrungsfaktor um 1, in unserem Beispiel also von 4 auf 5.
Die vereinfachte Bestimmung ohne Summenbildung ergibt dann 18.6 Generationen, mit Summenbildung 18 Generationen.
Falls die Elterngeneration nach z.B. 10 Würfen stirbt, verschiebt sich die Rechnung noch einmal ein wenig. Die Menge der Nachkommen nach n Generationen berechnet sich neu:
M = qn - q(n-m) (M = Anzahl Nachkommen in der Generation n; m = Anzahl Generationen, in denen ein Elternpaar lebt und Nachkommen zeugen kann).
Die Anzahl dafür nötiger Nachkommenspaare kann leider nicht explizit errechnet werden. Die Aufgabe muss numerisch gelöst werden und führt dann zu Anzahl Generationen, die nötig sind bis die vorgegebene Anzahl an Mäusepaaren erreicht ist.
Aufgabenblatt exponentielles Wachstum